\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

4.5.8.1 Sijoitusmenetelmä
Kuva 1
Sijoitusmenetelmässä eliminoidaan toinen muuttuja sijoittamalla yhden yhtälön puolikas toiseen yhtälöön. Tämän jälkeen toinen muuttuja selviää kuten normaalissa yhden muuttujan yhtälössä. Yhtälöitä voi joutua muokkaamaan ennen sijoitusta.

Tarkastellaan seuraavaa yhtälöparia:

\begin{cases} 2y = -x + 6\\ y = 2x - 7 \end{cases}

Alempi yhtälö kertoo, että \(y\) on yhtä suuri kuin \(2x − 7\). Sijoitetaan \(2x − 7\) muuttujan \(y\) paikalle ylempään yhtälöön, jolloin saadaan seuraava yhtälö:

\begin{align*} 2(2x - 7) =& -x + 6 \quad║ \:\text{ensin sulut pois}\\ 4x - 14 =& -x + 6 \quad║ +14\\ 4x =& -x + 20 \quad║ +x\\ 5x =&\: 20 \quad║ :5\\ x =&\: 4 \\ \end{align*}

Muuttujan \(y\) arvo saadaan nyt helpoiten sijoittamalla saatu muuttujan \(x\) arvo alempaan alkuperäiseen yhtälöön:

\begin{equation*}y = 2x - 7=2⋅4 - 7 = 8-7 = 1\end{equation*}

Vastaus: Yhtälöparin ratkaisu on lukupari \((x,y) = (4,1)\).

Vastauksen voi esittää näinkin: $$\left\{\begin{matrix} x = 4\\ y = 1 \end{matrix}\right.$$

Huom: Ratkaisu kannattaa tarkistaa sijoittamalla alkuperäisiin yhtälöihin. Niistä kummassakin pitää vasemmasta ja oikeasta puolesta tulla yhtä suuri (ks. Ratkaisun tarkistaminen).