\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

5.5.1 Summa

Geometrisen lukujonon summa saadaan laskettua ovelan toimenpiteen avulla. Tarkastellaan yleistä geometrista lukujonoa (an), jonka yleinen jäsen saadaan lausekkeesta an = a1qn − 1. Tällöin lukujonon summa Sn saadaan kaavasta alla (jonossa on n yhteenlaskettavaa jäsentä). Huomaa, ettei q saa olla 1, jottei tule nollalla jakamista:
Sn =
a1(1 qn)
, q 1
1 q

Todistus
Lukujonon summa voidaan esittää seuraavasti:

Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an1 + an = a1q0 + a1q1 + a1q2 + ... + a1qn2 + a1qn1

Ovela kohta: muodostetaan toinen summa kertomalla ensimmäistä luvulla q

qSn = qa1 + qa2 + qa3 + ... + qan1 + qan =
a1q1 + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn1 + a1qn

Ja vähennetään sitten ensimmäisestä summasta toinen:

Sn qSn = a1q0 + a1q1 + a1q2 + ... + a1qn2 + a1qn1
(a1q1 + a1q2 + a1q3 + ... + a1qn1 + a1qn) =
a1q0 + a1q1 + a1q2 + ... + a1qn2 + a1qn1
a1q1 a1q2 a1q3 ... a1qn1 a1qn

Nyt huomataan, että yhtälöstä yllä häviää melkein kaikki termit, paitsi ensimmäinen ja viimeinen (yhtä suuret vastakkaismerkkiset termit nollaantuvat).

Sn qSn = a1q0 a1qn

Eli (huomaa että q0 = 1 ja SnqSn = Sn(1 − q))

Sn(1 q) = a1 a1qn, joka voidaan kirjoittaa seuraavasti :
Sn(1 q) = a1(1 qn)jaetaan kumpaakin puolta lausekkeella (1 q) :
Sn =
a1(1 qn)
1 q