\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

7.9 Kombinaatiot

Kombinaatiot ovat erilaisia joukkoja, joita saadaan muodostettua isommasta joukosta. Esimerkiksi neljä pojan joukosta voidaan muodostaa neljä erilaista kolmen pojan ryhmää eli kombinaatiota.

Tällöin ryhmän järjestyksellä ei ole väliä (kun järjestyksellä on väliä, puhutaan permutaatioista).

Laskun voi päätellä seuraavasti: ensimmäinen poika voidaan valita neljällä tavalla, toinen kolmella ja kolmas kahdella, yhteensä \(4⋅3⋅2 = 24\) eri tavalla. Tämä antaa siis kaikkien mahdollisten kolmen pojan jonojen määrän.

Koska jonoissa toistuu samat pojat \(3⋅2⋅1 = 6\) kertaa, pitää luku \(24\) jakaa vielä samojen joukkojen lukumäärällä \(6\), josta saadaan vastaus \(4\).

Laskua hieman muokkaamalla voidaan hyödyntää kertomia, jolloin merkintä yksinkertaistuu:

\begin{equation*} \frac{4 \cdot 3 \cdot 2}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1} = \frac{4!}{3! \cdot (4-3)!} = \binom{4}{3} \end{equation*}

Merkintää \(\binom{4}{3}\) kutsutaan binomikertoimeksi ja se luetaan "4 yli kolmen". Lausekkeen arvo kertoo sen, kuinka monta erilaista kolmen hengen ryhmää saadaan neljän hengen ryhmästä. [Binomikerroin-nimitys liittyy binomien potensseihin ja sen arvot saadaan myös Pascalin kolmiosta (ks. Wikipedia)].

Laskimella (esim. NI-nspire) saman laskun tekee merkintä nCr(4,3).

Binomikerroin toimii kaikilla luonnollisilla luvuilla \(n\) ja \(k\), kunhan \(n \geq k\). Yleisesti \(k\)-alkioisten kombinaatioiden lukumäärä \(n\)-alkioisesta joukosta saadaan seuraavasti lausekkeesta:

\begin{equation*} \binom{n}{k}=\frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{equation*}