\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.7.3.1 Pystysuorat asymptootit
Kuva 1
Kuva 2

Pystysuorat asymptootit saadaan rationaalifunktion (supistetun) murtolukumuodon nimittäjän nollakohdista.

Esimerkiksi funktion (kuva 1)

R(x) =
x24x+4
x4

nimittäjän ainut nollakohta on \(x = 4\), jolloin funktion \(R(x)\) pystysuora asymptootti on suora \(x = 4\) (punainen katkoviiva kuvassa 1).

HUOM: jos rationaalifunktio ei ole supistetussa muodossa, vaan sekä nimittäjällä että osoittajalla on yhteinen nollakohta, ei nimittäjän nollakohta välttämättä ole rationaalifunktion asymptootti.

Esimerkiksi funktiolla

Q(x) =
x2x
x

sekä osoittajalla että nimittäjällä on nollakohta \(x = 0\), jolloin funktiota voidaan supistaa \(x\):llä (jaetaan ensin osoittaja tekijöihin):

Q(x) =
x2x
=
x(x1)
= x1
x
x

Tuloksena on siis suoran kuvaaja (kuva 2), jolla ei ole asymptoottina suoraa \(x = 0\), vaikka niin voitaisiin ensi näkemältä ajatella.

Kuvassa 2 on punaisella katkoviivalla (y-akseli) esitetty olematon asymptootti ja yhtenäisellä viivalla varsinainen rationaalifunktion kuvaaja. Tarkasti ottaen kuvaajassa on aukko kohdassa \(x=0\), koska arvo ei ole alkuperäisen funktion määrittelyjoukossa.