\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3 Analyysi

Analyysissa tutkitaan reaalilukuja ja niiden välisiä funktioita. Tyypillisiä analyysin käsitteitä ovat muun muassa raja-arvo, derivointi ja integrointi.

Laskuissa voi tulla vastaan vaikkapa seuraavia merkintöjä:

Raja-arvo:
lim
x→∞
3x4
=
lim
x→∞
x(3
4
)
x
=
lim
x→∞
3
4
x
= 3 ,
x+2
x(1+
2
)
x
1+
2
x
koska
lim
x→∞
2
= 0 ja
lim
x→∞
4
= 0
x
x
Derivaatta ja sen nollakohdat:
f(x) = 2x23x+6 ⇒ f'(x) = 4x3
4x3 = 0 +3
4x = 3 : 3
x =
3
4
Koska f(x) on toisen asteen polynomifunktio ja sen kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, saadaan derivaatan nollakohdasta funktion f pienin arvo (globaani minimi):
f(
3
) = 2(
3
)23
3
+6 =
2
9
3
3
+6 =
4
4
4
1
16
1
4
18
(22)
9
+6 =
9
18
+6 =
9
+6 = 4
7
16
4
8
8
8
8

Integraali:

12x2 dx =
2
/
1
1
x3 =
1
23
1
13 =
8
1
=
7
= 2
1
3
3
3
3
3
3
3

Integraalin tulos kertoo kuvassa oranssiksi värjätyn alueen pinta-alan (ruutuina). Tulos on tarkka arvo.