\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.4 Integrointi

Integroinnin voidaan ajatella olevan derivoinnin vastatoimitus. Kumpikin pohjautuu raja-arvon käsitteeseen ja tuottaa tarkkoja arvoja tilanteissa, joissa perinteiset menetelmät ovat enemmän tai vähemmän voimattomia.

Integrointia sovelletaan esimerkiksi pinta-alojen, kaarevien pituuksien ja tilavuuksien laskemiseen.

Esimerkki: funktion \(f(x)=3x^2-4x+1\) integraalifunktio eli antiderivaatta on \(x^3-2x^2+x+C\), koska tästä saadaan derivoimalla alkuperäinen funktio \(f\):

\begin{equation*}\frac{d}{dx}\left (x^3-2x^2+x+C\right ) = 3x^2-4x+1\end{equation*}

Yllä integroimisvakio \(C\) on mielivaltainen reaaliluku.

Merkintä:

\begin{equation*}F(x)=\int\limits_{}^{} f(x) \:\mathrm{d}x = \int\limits_{}^{} \left (3x^2-4x+1\right ) \:\mathrm{d}x = x^3-2x^2+x+C \end{equation*}

Integraalilaskennan kehittäjinä kunnostautuivat Isaac Newton (1642–1726) ja Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716), jotka työskentelivät integraalilaskennan parissa yhtä aikaa, mutta kumpikin itsenäisesti.