\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.3.2 Derivointi

Derivaattafunktion määrittäminen onnistuu muutaman säännön avulla:

1. Potenssin derivaatta lasketaan näin:
D(xm) = mx(m1) (m voi olla kokonais tai murtoluku)
Esim. 1) D(x3) = 3x(31) = 3x2
Esim. 2) D(x) = D(x1) = 1x(11) = x0 = 1
Esim. 3) D(
1
) = D(x2) = 2x(21) = 2x3 =
2
x2
x3
2. Vakion derivaatta on nolla:
D(a) = 0, kun a on pelkkä luku.

3. Termin kerroin ei vaikuta derivointiin:
D(3x3) = 3D(x3)

4. Polynomi derivoidaan termi kerrallaan:
D(3x3+x25) = D(3x3 )+D(x2)D(5)

Esim 3: D(3x) = 3D(x) = 3x(1 − 1) = 3x0 = 3

Esim 4: D(3x3+x2 − 5) = D(3x3)+D(x2) − D(5) = 3D(x3)+D(x2) − D(5) = 3∙3x2+2x = 9x2+2x

5. Osamäärän derivaatta:
D
f(x)
=
Df(x)g(x)Dg(x)f(x)
g(x)
(g(x))2

Esim. 5:

Jos f(x) = 2x+1 ja g(x) = x − 1, saadaan näiden osamäärän derivaatta seuraavasti:
D
f(x)
= D
2x+1
=
2(x1)1(2x+1)
=
2x22x1
=
3
g(x)
x1
(x1)2
(x1)2
(x1)2