\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.3.5 Funktion ääriarvot

Kuva 1
Kuva 2
Kuva 3

Funktio voi muuttaa suuntaansa laskevasta nousevaksi tai nousevasta laskevaksi derivaatan nollakohdassa, jossa on funktion paikallinen ääriarvo, jos nollakohdan eri puolilla on derivaatalla eri merkki (+/−).

Esimerkiksi kuvan funktiolla on paikallinen minimi kohdassa x = 1, jossa derivaatta eli tangentin (pun.) kulmakerroin on nolla. Kohdan x = 1 oikealla puolella funktio on nouseva (derivaatta > 0) ja vasemmalla puolella laskeva (derivaatta < 0).

Kuvan funktion derivaatalla on myös toinen nollakohta (vihreä tangentti), jossa on paikallinen maksimi.

Paikallisen ääriarvokohdan varmistamiseksi pitää useimmiten tutkia, vaihtuuko derivaatan merkki nollakohdassa. Ellei vaihdu, ei kyse ole ääriarvokohdasta, vaan niin kutsutusta satulapisteestä.

Esimerkki

Funktion f(x) = 2x3 − 3x2 − 12x+10 derivaatta on f'(x) = 6x2 − 6x − 12, jonka nollakohdat ovat x = 2 ja x = − 1 (saadaan 2. asteen ratkaisukaavalla).

Derivaatan merkkiä nollakohtien ympärille voidaan tutkia laskemalla testiarvoja:

f'(2) = 6(2)26(2)12 = 24+1212 = 24 > 0
f'(0) = 6026012 = 12 = 12 < 0
f'(3) = 6326312 = 541812 = 24 > 0

Tulosten perusteella voidaan piirtää kuvan 2 mukainen taulukko, josta nähdään, että funktiolla on yksi paikallinen maksimi ja yksi paikallinen minimi (nuolet viittaavat siihen, onko funktio nouseva vai laskeva).

Maksimin ja minimin arvot saadaan sijoittamalla derivaatan nollakohdat funktion yhtälöön:

f( − 1) = 2( − 1)3 − 3( − 1)2 − 12( − 1)+10 = − 2 − 3+12+10 = 17 (paikallinen maksimi)

f(2) = 223 − 322 − 122+10 = 16 − 12 − 24+10 = − 10 (paikallinen minimi)