\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.3.3 Tangentin yhtälö

Kuva 1

Olkoon funktio f(x) = x2 − 1. Mikä on funktiolle kohtaan x = 2 piirretyn tangentin yhtälö?

Ratkaisu: tangentti on suora, jonka yhtälö on muotoa y = kx+b (ks. lisätiedot). Kulmakerroin k on sama kuin funktion f derivaatta kohdassa x = 2:

f′(x) = 2x, jolloin f′(2) = 22 = 4.

Tangentin yhtälö on siis muotoa y = 4x+b. Vakiotermi b saadaan selville seuraavasti:

Tangentti hipaisee funktiota kohdassa x = 2, jolloin pisteen y-koordinaatti on f(2) = 22 − 1 = 3. Toisin sanoen tangentti kulkee pisteen (2,3) kautta. Sijoitetaan arvot eli x = 2 ja y = 3:

3 = 42+b
3 = 8+b 8
5 = b eli
b = 5
Nyt kaikki tarvittava on tehty. Tangentin yhtälö on siis y = 4x − 5