\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.3.7 Soveltaminen

Kuva 1
Kuva 2
Derivaatta on hyvä työkalu tehtävissä, joissa pitää löytää funktion avulla kuvatun ilmiön maksimi- tai minimiarvoja.

Esimerkki: Eerolla on 100 metriä aitaa. Mikä on suurimman mahdollisen suorakulmion muotoisen tontin pinta-ala, jonka Eero voi ympäröidä meren rannalta, kun meri toimii yhtenä rajana (sinne ei tarvita aitaa)?

Ratkaisu: Merkitään aidan rannan suuntaista sivua kirjaimella k ja kahta muuta (yhtä pitkää) sivua kirjaimella h (kuva 1). Koska aitaa on yhteensä 100 metriä, voidaan muuttuja k ilmaista muuttujan h avulla seuraavasti:

2h+k = 100 2h
k = 2h+100

Olkoon A(h) tontin pinta-alan funktio. Suorakulmion pinta-ala saadaan kertomalla kanta korkeudella, joten funktio A(h) saadaan seuraavasti:

A(h) = hk = h(2h+100) = 2h2+100h

Kysymyksessä on toisen asteen polynomifunktio (kuva 2), jonka kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, jonka globaali maksimi on derivaatan nollakohdassa:

A'(h) = 4h+100

Lasketaan derivaatan nollakohta:

4h+100 = 0 100
4h = 100 : (4)
h = 25

Tontin pinta-ala on siis suurin silloin, kun tontin rantaa kohti kohtisuora pituus on 25 metriä. Pinta-ala on tällöin A(25) = − 2252+10025 = − 2625+2500 = − 1250+2500 = 1250 m2 = 12,5 aaria.