\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.5 Monotonisuus

Alla muuttujat x, x1 ja x2 voivat olla mitä tahansa arvoja funktion f määrittelyjoukossa \(A_f\).

Funktio f(x) on monotonisesti kasvava, jos funktion arvo kasvaa (tai pysyy samana) muuttujan arvon kasvaessa, eli kaikilla arvoilla x1 ja x2 on voimassa lause

x1 < x2 f(x1) ≤ f(x2).

Funktio f(x) on monotonisesti vähenevä, jos funktion arvo pienenee (tai pysyy samana) muuttujan arvon kasvaessa, eli kaikilla arvoilla x1 ja x2 on voimassa lause

x1 < x2 f(x1) ≥ f(x2).

Funktiota sanotaan aidosti monotoniseksi (aidosti kasvava tai aidosti vähenevä), jos merkinnöistä yllä jätetään yhtäsuuruudet pois:

Funktio f(x) on aidosti kasvava, jos funktion arvo kasvaa muuttujan arvon kasvaessa, eli kaikilla arvoilla x1 ja x2 on voimassa lause

x1 < x2 f(x1) < f(x2).

Funktio f(x) on aidosti vähenevä, jos funktion arvo pienenee muuttujan arvon kasvaessa, eli kaikilla arvoilla x1 ja x2 on voimassa lause

x1 < x2 f(x1) > f(x2).

Käytännössä monotonisuutta tutkitaan usein derivaatan avulla (merkintä \(\forall x\in A_f\) tarkoittaa kaikkia muuttujan x arvoja, jotka kuuluvat funktion f määrittelyjoukkoon):

Funktio f on monotonisesti kasvava jos f'(x) ≥ 0 \(\:\forall x\in A_f\).

Funktio f on monotonisesti vähenevä jos f'(x) ≤ 0 \(\:\forall x\in A_f\).

Funktio f on aidosti kasvava jos f'(x) > 0 \(\:\forall x\in A_f\).

Funktio f on aidosti vähenevä jos f'(x) < 0 \(\:\forall x\in A_f\).

Huomautus: derivaattasääntö on riittävä, mutta vähän turhankin tiukka. Funktio voi olla aidosti kasvava, vaikka sen derivaatta olisikin nolla yksittäisissä (erillisissä) pisteissä.