\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

2.6.1 Rationaaliepäyhtälö

Kuva 1
Rationaaliepäyhtälö on epäyhtälö, jonka ainakin toisella puolella on rationaalilauseke, eli muuttuja tai muuttujia nimittäjässä.

Alla on esimerkki rationaaliepäyhtälöstä:

4
< 16
x
(1)
Epäyhtälön hahmottamista helpottaa viereinen kuva, joka on saatu merkitsemällä epäyhtälön vasen puoli funktioksi f(x) ja oikea puoli funktioksi g(x). Epäyhtälöä vastaa koordinaatistossa kysymys "Millä muuttujan x arvoilla sininen kuvaaja on punaista alempana?".

Rationaaliepäyhtälön muokkaamisessa tulee yleensä vastaan kertominen tai jakaminen muuttujan sisältävällä lausekkeella (esim. x) ja ongelma on siinä, että kertoessa ja jakaessa pitäisi tietää, onko luku positiivinen vai negatiivinen, mikä on vaikeaa, jos luku on tuntematon.

Ongelma voidaan kiertää jakamalla ratkaisu eri tapauksiin. Tämä on kuitenkin toisinaan aika työlästä.

Helpompi tapa saadaan muokkaamalla epäyhtälö niin, että toisella puolella on nolla, ja toista puolta ajatellaan rationaalifunktiona. Tällöin tehtävän ratkaisemiseksi riittää selvittää, milloin funktion arvot ovat positiivisia (tai negatiivisia).

Tarkastellaan hiukan epäyhtälöä (1):

4
< 16 16
x
(2)
4
16 < 0
x
(3)
4
x)
16
< 0
x
1
(4)
4
16x
< 0
x
x
(5)
16x+4
< 0
x
(6)
Merkitään nyt vasenta puolta funktiona f:
f(x) =
16x+4
,
x
jolloin alkuperäisen epäyhtälön ratkaisuja ovat ne muuttujan x arvot, joilla funktion f arvo on negatiivinen.

Rationaalifunktio on jatkuva muulloin, paitsi nimittäjän nollakohdissa. Funktion arvon merkki voi täten muuttua vain osoittajan ja nimittäjän nollakohdissa (funktion arvo on tässä positiivinen, kun osoittaja ja nimittäjä ovat samanmerkkisiä, ja muulloin negatiivinen).

Osoittajan nollakohta eli yhtälön − 16x+4 = 0 ratkaisu on x = 1/4. Nimittäjän nollakohta on nolla. Tarkastellaan taulukon avulla funktion f(x) arvon etumerkkiä. Etumerkin saamiseen riittää valita yksi arvo kultakin lukualueelta, laskea vastaava lausekkeen / funktion arvo ja katsoa arvon etumerkki.

x0
1
4
Osoittaja:++
Nimittäjä:++
Funktio f(x):+

Taulukosta yllä nähdään, että funktio f(x) saa negatiivisia arvoja silloin, kun x < 0 tai x > 1/4. Tämä on myös alkuperäisen epäyhtälön ratkaisu.

Huomautus: vastaus vaikuttaa järkevältä, jos katsot kuvan 1 kuvaajia. Sininen on punaista ylempänä vain välillä 0 < x < 1/4.