\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

5.3.3.8.1 Todistus
Kuva 1
Kuva 2
Kuvassa 1 siniset ja vihreät janat muodostavat nelikulmion, jonka kulmien summa on aina 360 astetta. Tästä saadaan seuraava yhtälö:
360°α + β + γ + δ = 360° 360°
α + β + γ + δ = 0 + α
β + γ + δ = α eli
α = β + γ + δ

Yhtälössä on kaksi ylimääräistä tuntematonta kulmaa γ ja δ, jotka pitäisi saada pois. Tämä onnistuu, kun huomataan kuvan 2 esittämä asia. Siinä on piirretty jana ympyrän keskipisteestä ympyrän kaarelle (katkoviiva). Tämä jana jakaa yllä mainitun nelikulmion kahteen kolmioon, jotka ovat tasakylkisiä, koska kummankin kolmion kaksi kylkeä ovat ympyrän säteitä, eli yhtä pitkiä.

Tasakylkisessä kolmiossa kantakulmat ovat keskenään yhtä suuria, kuten kuvaan on merkitty (yhdessä kolmiossa γ ja toisessa δ).

Kuvan perusteella on selvää, että kulma β on kulmien γ ja δ summa, eli on voimassa yhtäsuuruus

β = γ + δ eli
γ + δ = β

Yhdistämällä tämä aikaisempaan yhtälöön saadaan seuraava:

α = β + γ + δ = β + β
α = 2β

Tulokseksi saatiin, että keskuskulma α on kaksi kertaa niin suuri kuin sitä vastaava kehäkulma β.

Tulos on voimassa kaikilla kulmilla α ja β, joilla on voimassa alussa esitetty oletus "siniset ja vihreät janat muodostavat nelikulmion" (suhde toimii vähän laajemminkin, mutta sen todistaminen vaatii hiukan lisätyötä).