\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.2.1.1 N-kulmion piiri p(n)=2rn sin(π/n)
Kuva 1
Kuva 2
Säännöllinen n-kulmio voidaan jakaa tasakylkisiin kolmioihin janoilla, jotka kulkevat keskipisteestä kuhunkin kulmaan. Kolmioita tulee tällöin n kappaletta (kuva 1). Kolmiot ovat tasakylkisiä ja kyljen pituus on sama kuin monikulmion ympäri piirretyn ympyrän säde.

Tasakylkinen kolmio (ABC) voidaan puolittaa kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi kuten kuvassa 2.

N-kulmion piiri on tasakylkisten kolmioiden pohjien (kuvassa 2 jana BC) pituuksien summa.

Suorakulmaisen kolmion ADC avulla saadaan janan x pituus sanottua kulman α ja säteen r avulla trigonometrisia funktioita hyödyntäen:

sinα =
x
⇔ x = rsinα
r

Kuvan 2 kulman CAB suuruus on . N-kulmiossa näitä kulmia on n kappaletta ja yhteensä ne muodostavat täyskulman 360 astetta, joka on radiaaneina . Näillä tiedoilla saadaan kulma α sanottua muuttujan n avulla:

n2α = 2π : 2n
α =
(2 =
π
2n
n
Suorakulmaisia kolmioita (kuten ADC) on kaksi jokaisessa tasakylkisessä kolmiossa ja näin yhteensä 2n kappaletta. Tästä saadaan piiri p monikulmion kulmien lukumäärän n funktiona seuraavasti:
p(n) = 2nx = 2nrsinα = 2rnsin
π
n
Viimeisessä lausekkeessa ainut muuttuja on n, kuten oli tarkoituskin. Nyt meillä on funktio, jonka avulla voidaan laskea minkä tahansa säännöllisen monikulmion piiri, kun tiedetään sen ympäri piirretyn ympyrän säde ja kulmien lukumäärä.