\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.3.1 Raja-arvon määritelmä

Derivaatta voidaan määritellä seuraavasti:

Funktion \(f(x)\) derivaatta kohdassa \({x}_0\) on seuraava:

$$f'({x}_0)=\lim_{x\:\to\: {x}_0}\frac{f(x)-f({x}_0)}{x-{x}_0}$$

Määritelmässä erotus \(x-{x}_0\) korvataan usein symbolilla \(h\), jolloin saadaan muuttujalle \(x\) seuraava merkintä:

$$\begin{align} x-{x}_0&=h \quad \Vert+{x}_0 \\ x&={x}_0+h \end{align}$$

Nyt derivaatan määritelmä saadaan kenties hiukan yksinkertaisempaan muotoon:

$$f'({x}_0)=\lim_{{x}_0+h\:\to\: {x}_0}\frac{f({x}_0+h)-f({x}_0)}{{x}_0+h-{x}_0}= \lim_{h\:\to\: 0}\frac{f({x}_0+h)-f({x}_0)}{h}$$

eli

$$f'({x}_0)= \lim_{h\:\to\: 0}\frac{f({x}_0+h)-f({x}_0)}{h}$$