\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.2 Funktion raja-arvo

Funktion raja-arvo on luku, jota funktion arvot lähestyvät rajatta, kun muuttujan arvo lähestyy jotakin lukua tai ääretöntä (ns. epäoleellinen raja-arvo). Raja-arvoa ei välttämättä ole olemassa, tai funktion arvot voivat lähestyä positiivista tai negatiivista ääretöntä, jolloin sanotaan, että funktio kasvaa (vähenee) rajatta.

Raja-arvoa merkitään yleensä seuraavilla tavoilla, jotka kummatkin tarkoittavat samaa kuin "funktion f arvo lähestyy rajatta arvoa b, kun muuttujan x arvo lähestyy arvoa a":

f(x) → b, kun x → a

eli toisin sanoen

lim
x → a
f(x) = b

Funktiolla \(f(x)\) on raja-arvo kohdassa \(a\), jos funktion toispuoleiset raja-arvot lähestyttäessä kohtaa \(a\) ovat samat ja äärelliset (eli jos kuvaajan oikea ja vasen puoli lähestyvät samaa arvoa kyseisessä kohdassa)

\begin{equation}\lim_{x\to a+}f(x)=\lim_{x\to a-}f(x)=L, \end{equation}

jossa luku \(L\) on äärellinen.