\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.2 Funktion raja-arvo

Funktion raja-arvo on luku, jota funktion arvot lähestyvät rajatta, kun muuttujan arvo lähestyy jotakin lukua tai ääretöntä (ns. epäoleellinen raja-arvo). Raja-arvoa ei välttämättä ole olemassa, tai funktion arvot voivat lähestyä positiivista tai negatiivista ääretöntä, jolloin sanotaan, että funktio kasvaa (vähenee) rajatta.

Raja-arvoa merkitään yleensä seuraavilla tavoilla, jotka kummatkin tarkoittavat samaa kuin "funktion \(f\) arvo lähestyy rajatta arvoa \(b\), kun muuttujan \(x\) arvo lähestyy arvoa \(a\)":

\begin{equation*} f(x) \to b \:\text{kun } x \to a \end{equation*}

eli toisin sanoen

\begin{equation*}\lim_{x \to a}f(x)=b\end{equation*}

Määritelmä

Funktiolla \(f(x)\) on raja-arvo \(L\) kohdassa \(a\), jos funktion toispuoleiset raja-arvot lähestyttäessä kohtaa \(a\) ovat samat ja äärelliset (eli jos kuvaajan oikea ja vasen puoli lähestyvät samaa arvoa kyseisessä kohdassa):

\begin{equation}\lim_{x\to a+}f(x)=\lim_{x\to a-}f(x)=L, \end{equation}

jossa luku \(L\) on äärellinen.

Esimerkkejä

  1. \(\displaystyle{\lim_{x\to 2}\left (x^{2}-3x+1\right )=2^{2}-3\cdot2+1 = 4-6+1=-1}\) (polynomilla raja-arvo on polynomin arvo kyseisessä kohdassa)
  2. \(\displaystyle{\lim_{x\to 0+}\left (\frac{1}{x}\right )=\infty }\) (toispuoleinen epäoleellinen raja-arvo)
  3. \(\displaystyle{\lim_{x\to 0-}\left (\frac{1}{x}\right )=-\infty }\) (toispuoleinen epäoleellinen raja-arvo)
  4. \(\displaystyle{\lim_{x\to \infty}\left (\frac{1}{x}\right )=0 }\) (raja-arvo äärettömyydessä)