\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.2 Funktion raja-arvo

Funktion raja-arvo on arvo, jota funktion arvot lähestyvät rajatta (sekä oikealta että vasemmalta), kun muuttujan arvo lähestyy jotakin arvoa. Raja-arvoa ei välttämättä ole olemassa, tai se voi lähestyä positiivista tai negatiivista ääretöntä (epäoleellinen raja-arvo).

Raja-arvoa merkitään yleensä seuraavilla tavoilla, jotka kummatkin tarkoittavat samaa kuin "funktion f arvo lähestyy rajatta arvoa b, kun muuttujan x arvo lähestyy arvoa a":

f(x) → b, kun x → a

eli toisin sanoen

lim
x → a
f(x) = b

Funktiolla \(f(x)\) on raja-arvo kohdassa \(a\), jos funktion toispuoleiset raja-arvot lähestyttäessä kohtaa \(a\) ovat samat ja äärelliset:

\begin{equation}\lim_{x\to +a}f(x)=\lim_{x\to -a}f(x)=L, \end{equation}

jossa luku \(L\) on äärellinen.

Täsmällisempi (enemmän yliopistotasoinen) määritelmä on seuraava, jossa ε ja δ ovat reaalilukuja:

Funktiolla f(x) on raja-arvo b kohdassa a, jos ja vain jos jokaista lukua ε > 0 kohti on olemassa luku δ > 0 siten, että
│f(x)b│ < ε, kun │xa│ < δ.