\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.2.1.2 N-kulmion piirin raja-arvo
Edellä osoitettiin, että säännöllisen monikulmion piiri saadaan seuraavasti:
p(n) = 2rnsin
π
n

Funktiossa muuttuja n on kulmien lukumäärä ja r matka keskipisteestä monikulmion kärkeen (mihin tahansa).

Mitä piiri lähestyy, kun n lähestyy ääretöntä?

Vastauksen saamiseksi riittää tutkia lauseketta

nsin
π
,
n
(1)
koska kertoimen 2r voidaan ajatella pysyvän vakiona.

Tehdään pieni sijoitus, jotta sinilausekkeesta saadaan yksinkertaisempi. Merkitään osamäärää π/n kirjaimella u, jolloin muuttujalle n saadaan seuraava merkintä:

π
= u n
n
π = nu : u
π
= n
u
Nyt lausekkeesta (1) saadaan seuraavanlainen:
nsin
π
=
π
sinu = π
sinu
n
u
u
Taulukkokirjasta löytyy viimeisessä muodossa esiintyvän lausekkeen raja-arvo (ei ihan itsestäänselvä):
lim
n → ∞
sinu
= 1
u
Tämän avulla saadaan monikulmion piirin raja-arvo selville:
lim
n → ∞
2rnsin
π
=
lim
n → ∞
2rπ
sinu
= 2rπ1 = 2πr
n
u
Raja-arvoksi saatiin 2πr, eli sama kuin ympyrällä, mikä vaikuttaakin sangen loogiselta.