\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

4.8.3 Funktion nollakohdat

Kuva 1

Funktion \(f(x)\) nollakohtia ovat kaikki ne muuttujan \(x\) arvot, joilla funktion arvo \(f(x)=0\).

Funktion kuvaaja leikkaa nollakohdassa \(x\)-akselin tai ainakin käy \(x\)-akselilla. Tällöin funktion arvo eli \(y\) on nolla.

Nollakohtia funktiolla ei välttämättä ole. Toisaalta nollakohtia voi olla rajattoman paljon, jos funktion kuvaaja ylittää \(x\)-akselin toistuvasti.

Esimerkki 1: kuvassa 1 on funktion \(g(x)=x^{4}-5x^{2}+4\) kuvaaja, joka ylittää \(x\)-akselin neljässä kohdassa. Funktion nollakohdat ovat kuvasta arvioiden \(x=-2\), \(x=-1\), \(x=1\) ja \(x=2\).

Esimerkki 2: funktion \(f(x)=-3x-6\) nollakohdat saadaan selville ratkaisemalla yhtälö \(-3x-6=0\).

$$\begin{align*} -3x-6&=0 \quad \Vert +6\\ -3x&=6 \quad \Vert :(-3) \\ x&=-2 \\ x=& -2\end{align*}$$

Funktion \(f(x)=-3x-6\) ainoa nollakohta on \(x=-2\). Tämä on ymmärrettävää, koska funktion lauseke on ensimmäisen asteen polynomi, jolloin kuvaaja on suora.