\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

1 Luvut, joukot ja laskutoimitukset

Kuva 1: Lukujoukot
Lukujoukot (kokonaisluvut, kokonaisluvut, rationaaliluvut, reaaliluvut ja kompleksiluvut) sisältyvät toisiinsa seuraavasti: $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$$

Reaaliluvut käsittävät kaikki lukusuoran luvut. Kompleksiluvut sisältävät reaalilukujen lisäksi esimerkiksi yhtälön \(x^{2}=-1\) ratkaisut, joita ei ole reaalilukujen joukossa. Kompleksilukujen ympärille on kehittynyt kokonainen matematiikan osa-alue, funktioteoria eli kompleksianalyysi.

Lukuihin liittyy monia äärettömiä ominaisuuksia. Jokaisessa mainitussa joukossa on äärettömän monta jäsentä. Kahden rationaaliluvun välissä on aina äärettömän monta muuta rationaalilukua, mutta myös äärettömän monta reikää, jotka vasta reaaliluvut täyttävät. Reaaliluvut kattavat lukusuoran jokaikisen pisteen. Kompleksilukuihin otetaan mukaan arvoja myös lukusuoran "ulkopuolelta" ja kyseessä on eräänlainen "lukutaso" lukusuoran asemesta.

Kompleksilukuja käytetään esimerkiksi yhtälön ratkaisussa (esim. kolmannen asteen yhtälö, wikipedian artikkeli), signaalinkäsittelyssä ja kvanttimekaniikassa.