\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

4.5.10.1 Vaillinainen toisen asteen yhtälö \(ax^{2}+c=0\)

Muotoa \(ax^{2}+c=0\) (\(a\) ja \(c\) ovat vakioita) olevaa yhtälöä sanotaan vaillinaiseksi toisen asteen yhtälöksi, koska siitä puuttuu ensimmäisen asteen termi.

Tälläisen yhtälön voi muuttaa muotoon \(x^{2}=d\), missä \(d\) on reaaliluku. Yhtälön ratkaisu saadaan ottamalla kummastakin puolesta neliöjuuri (toiseen korottamisen vastalaskutoimitus):

\begin{align*} x^{2}&=d \quad \Vert\sqrt{}\\ \left |x\right |&=\sqrt{d} \\ x&=\pm\sqrt{d} \end{align*}

Huomaa, että \(\sqrt{x^{2}}\geq0\) riippumatta siitä, onko alkuperäinen muuttujan \(x\) arvo positiivinen vai negatiivinen. Tämän takia \(x\) on sijoitettu itseisarvomerkkien sisään (\(\left |x\right |\)). Muuttujan \(x\) paikalle sopii tällöin aina luku ja sen vastaluku, jolloin yhtälön ratkaisuja on kaksi (jos \(d\geq0\) ja \(x\neq0\)).

Jos yhtälössä \(x^{2}=d\) muuttuja \(d < 0\), ei yhtälöllä ole ratkaisuja (reaalilukujen joukossa).

Esimerkki:

Yhtälö \(4x^{2}-100=0\) ratkaistaan niin, että ensin muokataan yhtälö muotoon, jossa \(x^{2}\) on yksin yhtälön toisella puolella, minkä jälkeen otetaan neliöjuuri yhtälön kummastakin puolesta:

\begin{align*} 4x^{2}-100&=0 \quad \Vert+100\\ 4x^{2}&=100 \quad \Vert:4\\ x^{2}&=25 \quad \Vert\sqrt{}\\ \left |x\right |&=\sqrt{25} \\ x&=\pm5 \end{align*}