\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

5.5.1 Pinta-alojen suhde

Suurennoksessa ja pienennöksessä kuvion muoto ei muutu, eli alkuperäinen ja uusi kuvio ovat yhdenmuotoisia.

Tarkastellaan esimerkkinä suorakulmion suurentamista. Olkoon alkuperäisen suorakulmion pituus 3 cm ja leveys 1 cm. Tällöin sen pinta-ala on 3 cm2.

Suurennetaan suorakulmiota eri mittakaavoissa ja tarkkaillaan pinta-aloja:

Mittakaava Alkup. lev. (cm) Alkup. pit. (cm) Aalkup. (cm2) Uusi lev. (cm) Uusi pit. (cm) Auusi (cm2)
Auusi
Aalkup.
2:1 1 3 3 2 6 12 \(\frac{12}{3}=4\)
3:1 1 3 3 3 9 27 \(\frac{27}{3}=9\)

Taulukosta nähdään, että ainakin kyseisillä suurennoksilla pinta-alojen suhde = mittakaava2 \(\left (\left (2:1\right )^{2}=2^{2}=4 \:\text{ja}\: \left (3:1\right )^{2}=3^{2}=9\right )\) . Sama sääntö pätee itse asiassa kaikille tasokuvioille:

Yhdenmuotoisten kuvioiden pinta-alojen suhde = mittakaava2.

Käytännössä usein helpompi on seuraava muotoilu:

\begin{equation*}A_{uusi} = p^{2}\cdot A_{alkup.} \end{equation*} missä \(A_{uusi}\) on uuden ja \(A_{alkup.}\) alkuperäisen kuvion pinta-ala ja \(p\) on kuvioiden välinen mittakaava.

Esimerkki
Kuvio \(B\) on suurennos kuviosta \(C\) mittakaavassa \(3:2\). Jos kuvion \(C\) pinta-ala on \(4,0\) cm2, saadaan kuvion \(B\) pinta-ala seuraavasti: \begin{equation*} A_{B}= \left (\frac{3}{2}\right )^{2}\cdot 4,0 \: \text{cm}^{2}= \frac{9}{4}\cdot 4,0 \: \text{cm}^{2}= 9,0 \:\text{cm}^{2} \end{equation*}