\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

2.5.1.1 Vaillinainen 2. asteen yhtälö

Vaillinaiseksi toisen asteen yhtälöksi sanotaan muotoa \(ax^{2}+c=0\) (\(a\) ja \(c\) ovat reaalilukuja) olevaa yhtälöä, josta puuttuu ensimmäisen asteen termi.

Tälläisen yhtälön voi muuttaa muotoon \(x^{2}=d\), missä \(d\) on reaaliluku. Yhtälön ratkaisu saadaan ottamalla kummastakin puolesta neliöjuuri (toiseen korottamisen vastalaskutoimitus):

\begin{align} x^{2}&=d \quad \Vert\sqrt{}\\ \left |x\right |&=\sqrt{d} \\ x&=\pm\sqrt{d} \end{align} Huomaa, että \(\sqrt{x^{2}}\geq0\) riippumatta siitä, onko alkuperäinen muuttujan \(x\) arvo positiivinen vai negatiivinen. Tämän takia \(x\) on sijoitettu itseisarvomerkkien sisään (\(\left |x\right |\)). Muuttujan \(x\) paikalle sopii tällöin aina luku ja sen vastaluku, jolloin yhtälön ratkaisuja on kaksi (jos \(d\geq0\) ja \(x\neq0\)).

Jos yhtälössä \(x^{2}=d\) muuttuja \(d < 0\), ei yhtälöllä ole ratkaisuja (reaalilukujen joukossa).

Esimerkki: Yhtälö \(4x^{2}-100=0\) ratkaistaan niin, että ensin muokataan yhtälö muotoon, jossa \(x^{2}\) on yksin yhtälön toisella puolella, minkä jälkeen otetaan neliöjuuri yhtälön kummastakin puolesta: \begin{align} 4x^{2}-100&=0 \quad \Vert+100\\ 4x^{2}&=100 \quad \Vert:4\\ x^{2}&=25 \quad \Vert\sqrt{}\\ \left |x\right |&=\sqrt{25} \\ x&=\pm5 \end{align}