\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

2.6.1.1 Vaillinainen 2. asteen yhtälö

Vaillinaiseksi toisen asteen yhtälöksi sanotaan muotoa 1) \(ax^{2}+c=0\) tai 2) \(ax^{2}+bx=0\), joissa \(a\), \(b\) ja \(c\) ovat reaalilukuja ja joista puuttuu joko ensimmäisen asteen termi tai vakiotermi.

Ratkaisukaava toimii myös vaillinaisilla yhtälöillä, mutta ne voidaan ratkaista myös seuraavilla suoremmilla tavoilla.

1) Ensinnä mainitun yhtälön voi muuttaa muotoon \(x^{2}=d\), missä \(d\) on reaaliluku. Yhtälön ratkaisu saadaan ottamalla kummastakin puolesta neliöjuuri (toiseen korottamisen vastalaskutoimitus):

\begin{align*} x^{2}&=d \quad \Vert\sqrt{}\\ \left |x\right |&=\sqrt{d} \\ x&=\pm\sqrt{d} \end{align*} Huomaa, että \(\sqrt{x^{2}}\geq0\) riippumatta siitä, onko alkuperäinen muuttujan \(x\) arvo positiivinen vai negatiivinen. Tämän takia \(x\) on sijoitettu itseisarvomerkkien sisään (\(\left |x\right |\)). Muuttujan \(x\) paikalle sopii tällöin aina luku ja sen vastaluku, jolloin yhtälön ratkaisuja on kaksi (jos \(d\geq0\) ja \(x\neq0\)).

Jos yhtälössä \(x^{2}=d\) muuttuja \(d < 0\), ei yhtälöllä ole ratkaisuja (reaalilukujen joukossa).

2) Muotoa \(ax^{2}+bx=0\) oleva yhtälö ratkeaa tekijöihin jakamisen ja nollasäännön avulla helpoiten: \(ax^{2}+bx=0 \Leftrightarrow x(ax+b)=0 \Leftrightarrow x = 0 \:\text{tai}\:x=-\frac{b}{a}\)

Esimerkki 1: Yhtälö \(4x^{2}-100=0\) ratkaistaan niin, että ensin muokataan yhtälö muotoon, jossa \(x^{2}\) on yksin yhtälön toisella puolella, minkä jälkeen otetaan neliöjuuri yhtälön kummastakin puolesta: \begin{align*} 4x^{2}-100&=0 \quad \Vert+100\\ 4x^{2}&=100 \quad \Vert:4\\ x^{2}&=25 \quad \Vert\sqrt{}\\ \left |x\right |&=\sqrt{25} \\ x&=\pm5 \end{align*}

Esimerkki 2: Yhtälöstä \(4x^{2}=8x\) puuttuu vakiotermi, joten tekijöihin jako auttaa. Huom.: muokkaa yhtälö ensin nollamuotoon (nolla toisella puolella)!

\begin{align*} 4x^{2}&=8x \quad \Vert -8x\\ 4x^{2}-8x&=0\\ 4x(x-2)&=0 \\ 4x = 0 &\:\text{tai } x-2=0 \\ x = 0 &\:\text{tai } x=2 \\ \end{align*}