\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

1.11.3.1 Perustelu
Sääntö (\(a, m\) ja \(n\) ovat mitä tahansa lukuja, paitsi että \(a\neq0\)):
\begin{equation*}\frac{a^{m}}{a^{n}} =a^{m-n}\end{equation*}

Perustelu, kun \(a, m\) ja \(n\) ovat kokonaislukuja. Jaetaan perustelu kahteen tapaukseen:
Tapaus \(m \geq n\):
\begin{equation}\frac{a^{m}}{a^{n}}= \frac{\overbrace{a\cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}^{m \:\text{kpl}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \:\text{kpl}}} = \underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{m-n \:\text{kpl}}= a^{m-n} \end{equation} Tapaus \(m < n\): \begin{equation}\frac{a^{m}}{a^{n}}= \frac{\overbrace{a\cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}^{m \:\text{kpl}}}{\underbrace{a \cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n \:\text{kpl}}} = \frac{1}{\underbrace{a\cdot a \cdot a \cdot ... \cdot a}_{n-m \:\text{kpl}}} = \frac{1}{a^{n-m}}=a^{-(n-m)}=a^{m-n} \end{equation}

Kummassakin tapauksessa päädytään samaan tulokseen, joten laskukaava pätee riippumatta siitä, kumpi muuttujista \(m\) ja \(n\) on suurempi.