\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

4 Analyyttinen geometria

Analyyttinen geometria on geometrian osa-alue, jossa geometriaa lähestytään koordinaatiston näkökulmasta, jolloin geometrisia olioita voidaan käsitellä esimerkiksi yhtälöiden ja vektorien avulla.

Alla muutamia tavallisiin tason geometrisiin olioihin liittyviä yhtälöitä:

Suora

\begin{equation*}y=kx+b\end{equation*}

Ympyrä

\begin{equation*}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2,\:\text{jossa }(x_0, y_0) \:\text{on ympyrän keskipiste}\end{equation*}

Ellipsi

\begin{equation*}\frac{(x-x_0)^2}{a^2}+\frac{(y-y_0)^2}{b^2}=1, \:\text{jossa }(x_0, y_0) \:\text{on ellipsin keskipiste}\end{equation*}

Hyperbeli

\begin{equation*}\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\end{equation*}

Avaruusgeometria:

Suora, joka kulkee pisteiden \((1,-2,4)\) ja \((2,0,1)\) kautta:

\[\begin{cases} x=t+1\\ y=2t-2\\ z=-3t+4 \end{cases} \quad \:\text{eli}\quad \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = t \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -3 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 4 \\ \end{bmatrix} , t\in\mathbb{R} \]

Tason yhtälö:

\begin{equation*}ax+by+cz+d=0,\end{equation*}

jossa \(a, b, c\) ja \(d\) ovat reaalilukuja.


Lähteitä: