\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

1.12.8 Potenssiin puoli

Tähän asti eksponentit ovat olleet lähinnä kokonaislukuja. Potenssilaskut toimivat kuitenkin myös muilla eksponenteilla. Tarkastellaan tässä yhtä erikoistapausta.

Neliöjuuri ja toinen potenssi ovat toistensa käänteislaskutoimituksia eli kumoavat toistensa vaikutuksen:

\begin{equation}\left (\sqrt{4}\right )^2=4 \:\text{ja}\: \sqrt{4^2}=4\end{equation}

Voidaanko neliöjuuri ilmaista potenssin avulla? Onko olemassa lukua \(a\), jolla \(\sqrt{4}=4^{a}\)?

Muokataan hieman yhtälöä yllä korottamalla kumpikin puoli potenssiin kaksi:

\begin{equation}\sqrt{4}=4^{a} \quad \Vert ()^{2}\end{equation} \begin{equation}\left (\sqrt{4}\right )^{2}=\left (4^{a}\right )^{2} \end{equation} Potenssien laskusääntöjen avulla saadaan yhtälö seuraavaan muotoon: \begin{equation}4=4^{2a} \:\:\text{eli}\:\: 4^{1}=4^{2a}\end{equation} Yhtäsuuruus on voimassa ainoastaan kun eksponentit ovat yhtä suuret: \begin{equation}1=2a \quad \Vert:2\end{equation} \begin{equation}a=\frac{1}{2}\end{equation} Luvulle \(a\) saatiin arvo puoli. Toisin sanoen \(\sqrt{4}=4^{\frac{1}{2}}\).

Tulos on sama kaikilla positiivisilla kantaluvuilla (tehtävissä tämän perusteleminen), joten saadaan yleinen tulos: Kaikilla luvuilla \(a \geq 0\) on voimassa

\begin{equation*}\sqrt{a}=a^{\frac{1}{2}}\end{equation*}