\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.8 Funktion kasvaminen ja väheneminen

Kuva 1

Kuvaajan havainnollistaa funktion käyttäytymistä. Kun seuraat kuvaajaa oikealle, viittaa ylämäki funktion kasvamiseen ja alamäki vähenemiseen.

Funktiota sanotaan kasvavaksi, vaikka sen kuvaajassa olisikin vaakasuoria pätkiä, kunhan kuvaaja ei mene alaspäin missään kohdassa. Jos taas minkä tahansa kahden muuttujan arvon välillä kuvaaja nousee, on funktio aidosti kasvava.

Vastaavasti vähenevän funktion kuvaajassa voi olla vaakasuoria välejä, mutta aidosti vähenevässä ei.

Funktio voi olla kasvava tai vähenevä tietyllä välillä. Esimerkiksi kuvan 1 funktio \(f\) on aidosti kasvava väleillä \([-2, 0]\) ja \([2, ∞[\), ja aidosti vähenevä väleillä \(]-∞, -2]\) ja \([0, 2]\).

Derivaatta on hyvä apu funktion tutkimiseen (jos funktio on derivoituva). Jos derivaatta on kaikkialla positiivinen, on funktio aidosti kasvava. Kaikilla muuttujan arvoilla negatiivinen derivaatta merkitsee sitä, että funktio on aidosti vähenevä.

Huomaa, että aidosti kasvavan / vähenevän funktion derivaatta voi olla nolla yksittäisillä muuttujan arvoilla (kuten kuvassa 1 kohdassa \(x=-2\)). Jos sana aidosti puuttuu, voi derivaatta olla nolla kokonaisella välillä (kuvaaja tällöin vaakasuora).