\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.12 Eksponenttifunktio

Kuva 1

Eksponenttifunktio on funktio \(f(x)=a^{x}\), jossa on muuttuja eksponentissa. On sovittu, että kantaluku \(a > 0\) ja \(a \neq 1\).

Yksinkertainen esimerkki on \(f(x)=2^{x}\), joka kuvaa vaikkapa solunjakautumisessa syntyvien solujen lukumäärää jakautumiskertojen funktiona.

Esimerkiksi kolmen jakautumiskerran jälkeen yhdestä solusta on tullut \(f(3)=2^{3}=8\) solua (1 → 2 → 4 → 8).

Eksponenttifunktio kuvaa "eksponentiaalista muutosta", joka viittaa nopeaan kasvuun / vähenemiseen.

Kuvaajista voi päätellä, että eksponenttifunktio on joko aidosti kasvava (\(a>1\)) tai aidosti vähenevä \(0

Eksponenttifunktioiden tärkeä erikoistapaus on funktio \(g(x)=e^{x}\). Kantalukuna on neperin luku, jonka likiarvo on 2,72. Tällöin funktion \(g\) derivaatta on sama kuin funktion arvo, eli \(g'(x)=e^{x}\).

Eksponenttifunktion ominaisuuksia (vertaa logaritmifunktioon):

  • määrittelyjoukko: \(\mathbb{R}\)
  • arvojoukko: \(\mathbb{R_+}\)
  • aidosti kasvava, kun kantaluku \(a > 1\)
  • aidosti vähenevä, kun kantaluku \(0< a < 1\)
  • kasvaa / vähenee hyvin nopeasti (vertaa logaritmifunktioon)
  • kaikkialla jatkuva ja derivoituva
  • \(D(e^{x})=e^{x}\)
  • logaritmifunktion käänteisfunktio: \(a^{b}=x \Leftrightarrow \log_a(x)=b\)