\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.9 Logaritmifunktio

Kuva 1

Logaritmifunktio merkitään yleisesti \(f(x)=log_a (x)\). Logaritmi on se eksponentti, johon kantaluku \(a\) on korotettava, jotta tulokseksi saadaan luku \(x\).

On sovittu, että kantaluku \(a>0\) ja \(a\neq 1\). Tällöin funktion määrittelyjoukko on \(x>0\), koska positiivisen kantaluvun potenssi on aina positiivinen.

Esimerkiksi \(log_5{25}=2\), koska \(5^2=25\). Toisin sanoen luku \(5\) täytyy korottaa potenssiin \(2\), jotta tulokseksi saadaan \(25\). Vastaavasti \(log_{10}{1000}=3\).

Logaritmi- ja eksponenttifunktio ovat toistensa käänteisfunktioita, jolloin seuraavat yhtälöt ovat voimassa:

\begin{equation}log_a (a^x)=x\end{equation} \begin{equation}a^{log_a{x}}=x\end{equation}

Logaritmin kantaluku \(a\) voi olla mikä tahansa, mutta tavallisimmat kantaluvut lienevät 10 ja Neperin luku \(e\). Näille tapauksille käytetään seuraavia lyhennösmerkintöjä:

\begin{equation}log_{10}{(x)}=lg{(x)}\end{equation} \begin{equation}log_{e}{(x)}=ln{(x)}\end{equation}

Sulkuja on hyvä käyttää selvyyden vuoksi, vaikka ne joskus jätetäänkin pois, ellei sekaannuksen vaaraa ole.

Logaritmifunktio saa arvoikseen koko reaalilukujen joukon, on aidosti kasvava / vähenevä koko määrittelyjoukossaan ja kasvaa / vähenee hyvin hitaasti.