\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.11.2 Eksponenttifunktion kantaluvun vaihtaminen

Olkoon funktio \(f(x)=a^x\), missä vakio \(a\) ja muuttuja \(x\) ovat reaalilukuja.

Voidaanko funktion sääntö \(a^x\) kirjoittaa muodossa \(b^{\:kx}\), missä \(a\neq b\) ja \(k\) jokin vakio?

Yritetään ensin kirjoittaa \(a^x\) kirjoittaa muodossa \(e^{\:kx}\). Tämä onnistuu, kun muistetaan logaritmin määritelmä: pitää vain korottaa kantaluku \(e\) sellaiseen potenssiin, että tulokseksi tulee \(a^x\). Luonnollinen logaritmi \(\ln{(a^x)}\) antaa nimenomaan tämän eksponentin, joka sieventyy kivasti:

\begin{equation}a^x=e^{\ln{(a^x)}}=e^{x\ln{a}} \quad \forall x\in\mathbb{R}\end{equation}

Toisaalta \(b^{\:kx}\) voidaan kirjoittaa nyt samalla idealla:

\begin{equation}b^{gx}=e^{\ln{(b^{kx})}}=e^{kx\ln{b}} \quad \forall x\in\mathbb{R}\end{equation}

Merkitsemällä yhtäsuuriksi saadaan yhtälö, josta saadaan \(k\) selville:

\begin{align}e^{x\ln{a}}&= e^{kx\ln{b}} \\ x\ln{a}&= kx\ln{b}\quad \Vert :x\ln{b} \\ \frac{\ln{a}}{\ln{b}}&= k \\ &\end{align}

Vakiolle \(k\) (riippuu toki vakioista \(a\) ja \(b\)) saadaan lauseke \( k=\frac{\ln{a}}{\ln{b}} \). Nyt saadaan vastaus alkuperäiseen kysymykseen:

\begin{equation*}a^x=b^{x \cdot \frac{\ln{a}}{\ln{b}}}\end{equation*}