\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.11.3 Kantaluvun vaihtaminen neperin lukuun

Aikaisemmin saatiin seuraava tulos koskien eksponenttifunktion kantaluvun vaihtamista:

\begin{equation*}a^x=b^{x \cdot \frac{\ln{a}}{\ln{b}}}\end{equation*}

Erikoistapauksena, kun \(b=e\), saadaan seuraava:

\begin{equation*}a^x=e^{x \cdot \frac{\ln{a}}{\ln{e}}}=e^{x \cdot \frac{\ln{a}}{1}} = e^{x \cdot \ln{a}}\end{equation*}

Toisin sanoen eksponenttifunktion kantaluku voidaan vaihtaa neperin lukuun seuraavasti:

\begin{equation*}a^x=e^{x \cdot \ln{a}}\end{equation*}

Tuloksen saa myös suoraan päättelemällä: Lauseke \(\ln(a)\) antaa sen eksponentin \(p\), jolla on voimassa \(e^p=a\). Toisin sanoen \(e^{\ln{a}} =a\). Tällöin \(e^{x \cdot \ln{a}} =\left (e^{\ln{a}} \right )^x = a^x \).