\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.6 Funktion jatkuvuus

Funktio on jatkuva, kun sen kuvaajassa ei ole reikiä eikä hyppyjä, vaan kuvaaja on yhtenäinen viiva.

Täsmällisemmin asian voi ilmaista seuraavasti:

Funktio \(f(x)\) on jatkuva määrittelyjoukossaan \(A_f\), jos ja vain jos on voimassa yhtäsuuruudet

\begin{equation*}\lim_{x \to x_0-}f(x)=\lim_{x \to x_0+}f(x)=f(x_0)\end{equation*}

millä tahansa arvolla \(x_0 \in A_f\).

Yksinkertaistettuna ajatus on siinä, että kun lähestytään funktion kuvaajalla tiettyä kohtaa \(x_0\), päädytään samaan pisteeseen \((x_0, f(x_0))\) riippumatta siitä, tullaanko oikealta vai vasemmalta. Funktio on tällöin jatkuva kohdassa \(x_0\).

Lukiotasolla tarkastellut funktiot ovat yleensä jatkuvia määrittelyjoukossaan. Tämä on voimassa esimerkiksi seuraaville funktioille:

  1. polynomifunktiot (määrittelyjoukko koko \(\mathbb{R}\))
  2. rationaalifunktiot (määriteltyjä kaikkialla paitsi nimittäjän nollakohdissa)
  3. eksponenttifunktiot (määrittelyjoukko koko \(\mathbb{R}\))
  4. logaritmifunktiot (logaritmi on määritelty vain positiivisilla luvuilla)
  5. potenssi- ja juurifunktiot (parilliset juuret on määritelty vain positiivisilla luvuilla)

Muista tarkistaa määrittelyjoukko aina ennen johtopäätösten tekemistä!