\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

2.6.1.2 Ratkaisukaava

Toisen asteen yhtälön ratkaiseminen yhtälöä muokkaamalla on yleensä aika mutkikasta. Tästä syystä on järkevää opetella ulkoa alla esitetty ratkaisukaava. Ratkaisukaavan johtaminen on esitetty erillisessä artikkelissa.

Ratkaisukaavan avulla voidaan ratkaista kaikki muotoa \( ax^{2}+bx+c=0 \) olevat yhtälöt, joissa \(a\), \(b\) ja \(c\) ovat vakioita. Lisäksi vakio \(a\) ei saa olla nolla. Reaalilukuratkaisuja toisen asteen yhtälöllä on kaksi, yksi tai nolla. Joillakin yhtälöillä ei siis ole ratkaisuja (reaalilukujen joukossa).

Ratkaisukaava on seuraava:

\begin{equation}x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\end{equation}

Esimerkki: yhtälön \( x^{2}-3x=10 \) ratkaiseminen.

  1. Yhtälö pitää saada ensin muotoon, jossa yhtälön toisella puolella on nolla. Tässä tapauksessa riittää vähentää luku \(10\) yhtälön kummaltakin puolelta. \begin{align} x^{2}-3x&=10 \quad \Vert-10 \\ x^{2}-3x-10&=0 \end{align}
  2. Seuraavaksi haetaan vakioiden \(a\), \(b\) ja \(c\) arvot. Huomaa, että yhtälössä \(a\) on aina toisen asteen termin kerroin, \(b\) ensimmäisen asteen termin kerroin ja \(c\) vakiotermi. Tässä tapauksessa \(a=1\), \(b=-3\) ja \(c=-10\).
  3. Sitten sijoitetaan arvot kaavaan ja sievennetään: \begin{align} x=&\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} \\ =&\frac{-(-3)\pm \sqrt{(-3)^{2}-4 \cdot 1 \cdot (-10)}}{2 \cdot 1} \\ =&\frac{3\pm \sqrt{9-(-40)}}{2} \\ =&\frac{3\pm \sqrt{49)}}{2} \\ =&\frac{3\pm 7}{2} \\ \end{align} Saatiin kaksi vaihtoehtoa. Lasketaan ensin plussan avulla ja seuraavaksi miinuksen:

    \(x=\frac{3+7}{2}=\frac{10}{2}=5\) tai \(x=\frac{3-7}{2}=\frac{-4}{2}=-2\)

    Yhtälöllä \( x^{2}-3x=10 \) on siis kaksi ratkaisua, jotka ovat \(5\) ja \(-2\).