\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

2.5.1.3 Ratkaisukaavan johtaminen

Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavan johtaminen on suhteellisen yksinkertaista, kun tiedetään, mitä kohti pyritään. Kuitenkaan ratkaisukaavan keksiminen ilman apua ei ole lainkaan yhtä helppoa. Seuraavassa yksi varsin suoraviivainen menettely:

\begin{align} ax^{2}+bx+c&=0 \quad \Vert-c\\ ax^{2}+bx&=-c \quad \Vert \cdot 4a\\ 4a^{2}x^{2}+4abx&=-4ac \quad \Vert +b^{2}\\ 4a^{2}x^{2}+4abx+b^{2}&=b^{2}-4ac \quad \Vert \:\text{vasen puoli neliöksi}\\ (2ax+b)^{2}&=b^{2}-4ac \quad \Vert \sqrt{}\\ \sqrt{(2ax+b)^{2}}&=\sqrt{b^{2}-4ac} \\ \left |2ax+b\right |&=\sqrt{b^{2}-4ac} \\ 2ax+b&=\pm \sqrt{b^{2}-4ac} \quad \Vert -b \\ 2ax&=-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac} \quad \Vert :2a \\ x&=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} & \end{align}