\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

8.2 Eksponentiaalinen malli

Kuva 1

Eksponentiaalisessa mallissa muuttujien suhdetta kuvaa exponenttifunktio, eli funktio, jossa muuttuja on eksponenttina (kuvassa 1 yksi esimerkki).

Eksponentiaalisessa kasvussa on tyypillistä muutoksen voimakas nopeutuminen, vaikka muutos alussa vaikuttaisikin melko hitaalta.

Tyypillinen esimerkki on tarina nokkelasta kaverista, joka pyysi kuninkaalta palkkiokseen ne riisinjyvät, jotka saadaan asettamalla sakkilaudan ensimmäiseen ruutuun \(1\) jyvä, toiseen \(2\) jyvää, kolmanteen \(4\) jyvää jne. Jyvien määrä ruudussa \(n\) saadaan eksponenttifunktiosta \(f(n)=2^{n-1}\), joten viimeisessä eli \(64.\) ruudussa jyviä on \(f(64)=2^{64-1}=2^{63}\) kappaletta. Jos yhden jyvän massa on keskimäärin \(50\) milligrammaa, vastaa määrä noin \(460\) miljardia tonnia riisiä...

Vastaan tulevissa laskuissa pitää yleensä joko muodostaa funktio tai vastaava lauseke, ratkaista yhtälön avulla toistojen määrä eli eksponentti tai muutoskertoimen suuruus eli potenssin kantaluku.

Eksponentiaalinen malli liittyy esimerkiksi solujen, bakteerien ja muiden eläväisten lisääntymiseen, radioaktiivisuuden heikkenemiseen tai rahan kanssa puljaamiseen (korkoa korolle periaate).

Esimerkki 1 (eksponenttiyhtälö)

Erään syrjäisen kylän asukasluku väheni keskimäärin 2,3 prosenttia vuodessa. Kuinka pitkän ajan kuluttua asukasluku on puolittunut alkuperäisestä?

Ratkaisu: Alkuperäistä asukaslukua ei ole annettu, joten merkitään sitä vaikkapa kirjaimella \(a\). Vuodessa luku muuttuu \(100 \:\text{%} - 2,3 \:\text{%} = 97,7 \:\text{%}\), joka on prosenttikertoimena \(0,977\). Olkoon \(x\) kulunut aika vuosina. Saadaan yhtälö \begin{equation*}a \cdot 0,977^x=0,5a\end{equation*} Jakamalla kumpaakin puolta kirjaimella \(a\) saadaan yhtälö \begin{equation*}0,977^x=0,5\end{equation*} Yhtälön ratkaisuksi saadaan laskimella \(x≈29,8\). Vastaus: väkiluku puolittuu noin \(30\) vuodessa.

Esimerkki 2 (potenssiyhtälö)

Eräs pankki lupasi talletuksen kaksinkertaistuvan kymmenessä vuodessa, kun korko lisätään talletukseen kunkin vuoden lopussa. Mikä on tällöin korkoprosentti?

Ratkaisu: Merkitään kirjaimella \(a\) alkuperäistä talletusta ja kirjaimella \(x\) muutoskerrointa. Saadaan yhtälö \(a \cdot x^{10}=2a\). Jakamalla kumpaakin puolta kirjaimella \(a\) saadaan yhtälö \(x^{10}=2\), jonka ratkaisuksi saadaan laskimella \(x=\sqrt[10]{2}≈1,0718\). Vastaus: korkoprosentti on noin \(7,2\) (muutoskertoin \(-\) 100 %).