\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.7.4 Ensimmäisen asteen rationaalifunktiot
Kuva 1
Kuva 2

Ensimmäisen asteen rationaalifunktioksi nimitetään tässä rationaalifunktiota \begin{equation*}f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\end{equation*} jossa vakiot \(a\), \(b\), \(c\) ja \(d\) ovat mielivaltaisia reaalilukuja niillä ehdoilla, että \(c\neq0\) ja että \(a\) ja \(b\) eivät ole molemmat nollia (ensimmäisessä tapauksessa kysymyksessä on polynomifunktio ja toisessa nollafunktio). Rationaalilausekkeen nimittäjä on ensimmäisen asteen ja osoittaja korkeintaan ensimmäisen asteen polynomi (voi olla pelkkä luku myös).

Kun lisäksi funktion osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä (funktio on supistetussa muodossa), on funktion kuvaaja hyperbeli. Hyperbelillä on tällöin kaksi asymptoottia, joista toinen on vaaka- ja toinen pystysuora.

Huomaa, että jos rationaalifunktion osoittajalla ja nimittäjällä on yhteisiä tekijöitä, voidaan funktio supistaa. Tällöin funktion määrittelyjoukko saattaa muuttua, mutta lähtökohtaisesti pitäydytään aina alkuperäiseen määrittelyjoukkoon. Funktion kuvaaja ei tällöin aina ole hyperbeli.

Kuvassa 1 on yksinkertaisin mahdollinen rationaalifunktio \(f(x)=\frac{1}{x}\). Vakiot ovat siis \(a=0\), \(b=1\), \(c=1\) ja \(d=0\). Kuvaaja on hyperbeli, jonka asymptootteja ovat koordinaattiakselit.

Kuvassa 2 on funktion \(f(x)=\frac{3x-2}{x-5}\) kuvaaja. Asymptootit leikkaavat pisteessä \((5,3)\) ja hyperbelin huippujen \(A\) ja \(B\) kautta kulkevan symmetria-akselin yhtälö on \(y=x-2\) (hyperbeli on symmetrinen myös suoran \(y=-x+8\) suhteen).

Huippujen välistä janaa \(AB\) kutsutaan hyperbelin poikittaisakseliksi.

Janan \(AB\) keskipiste eli myös asymptoottien leikkauspiste on hyperbelin symmetriakeskus.