\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.11.4 Ensimmäisen asteen rationaalifunktiot
Kuva 1
Kuva 2

Ensimmäisen asteen rationaalifunktioksi nimitetään tässä rationaalifunktiota \begin{equation*}f(x)=\frac{ax+b}{cx+d},\end{equation*} jossa vakiot \(a\), \(b\), \(c\) ja \(d\) ovat mielivaltaisia reaalilukuja, kun vain \(c\) ja \(d\) eivät ole molemmat nollia (nollalla jakaminen ei määritelty). Rationaalilausekkeen nimittäjä ja osoittaja ovat korkeintaan ensimmäisen asteen polynomeja.

Kun funktion osoittajalla ja nimittäjällä ei ole yhteisiä tekijöitä (funktio on supistetussa muodossa) ja \(c>0\), on funktion kuvaaja hyperbeli. Hyperbelillä on tällöin kaksi asymptoottia, joista toinen on vaaka- ja toinen pystysuora.

Kuvassa 1 on yksinkertaisin mahdollinen rationaalifunktio \(f(x)=\frac{1}{x}\). Vakiot ovat siis \(a=0\), \(b=1\), \(c=1\) ja \(d=0\). Kuvaaja on hyperbeli, jonka asymptootteja ovat koordinaattiakselit.

Kuvassa 2 on funktion \(f(x)=\frac{3x-2}{x-5}\) kuvaaja. Asymptootit leikkaavat pisteessä \((5,3)\) ja hyperbelin huippujen \(A\) ja \(B\) kautta kulkevan symmetria-akselin yhtälö on \(y=x-2\) (hyperbeli on symmetrinen myös suoran \(y=-x+8\) suhteen).

Huippujen välistä janaa \(AB\) kutsutaan hyperbelin poikittaisakseliksi.

Janan \(AB\) keskipiste eli myös asymptoottien leikkauspiste on hyperbelin symmetriakeskus.