\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.1.7.4.2 Symmetriakeskus ja -akselit
Kuva 1
Kuva 2: esimerkkitehtävä

Ensimmäisen asteen rationaalifunktion tapauksessa saadaan symmetria-akseleiden yhtälöt määritettyä seuraavalla tavalla (silloin kun funktion kuvaaja on hyperbeli).

Symmetria-akselit kulkevat asymptoottien leikkauspisteen kautta. Yksi akseli leikkaa hyperbelin huippujen kohdalta ja toinen on tähän nähden suorassa kulmassa eikä leikkaa hyperbeliä ollenkaan. Symmetria-akseleiden kulmakertoimet ovat aina \(1\) (nouseva) ja \(-1\) (laskeva).

Symmetriakeskus on symmetria-akseleiden leikkauspiste, joka on myös asymptoottien leikkauspiste (kuva 1). Symmetriakeskus on tarkalleen hyperbelin huippujen välisen janan puolessa välissä.

Esimerkki

Määritä funktion\( f(x)=\frac{3x-2}{-x+2}\) kuvaajan symmetria-akselit ja symmetriakeskus.

Asymptootit ovat \(x=2\) (nimittäjän nollakohta) ja \(y=-3\) (muuttujien kertoimien osamäärä). Symmetria-akselit kulkevat siis pisteen \((2,-3)\) kautta. Suorien yhtälöt ovat muotoa \(y=\pm x+b\), jossa vakio \(b\) saadaan selville kummassakin tapauksessa sijoittamalla pisteen \((2,-3)\) koordinaatit yhtälöihin.

\begin{align*} y&=x+b_1 \\ -3&=2+b_1 \quad \Vert-2\\ -5&=b_1\\ \end{align*} \begin{align*} y&=-x+b_2 \\ -3&=-2+b_2 \quad \Vert+2\\ -1&=b_2 \\ \end{align*}

Vastaus: symmetria-akseleiden yhtälöt ovat \(y=x-5\) ja \(y=-x-1\) ja symmetriakeskus on piste \((2,-3)\).

Tehtävään liittyvät kuvaajat on piirretty kuvaan 2.