\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.4.1 Integraali

\begin{equation*} A=\left. \int\limits_{0}^{2}-x^{2}+4 \:\mathrm{d}x=\left (-\frac{1}{3}x^{3}+4x\right )\right |_0^2 \\ = -\frac{1}{3} \cdot 2^{3}+4 \cdot 2-\left (-\frac{1}{3} \cdot 0^{3}+4 \cdot 0\right )=-\frac{8}{3}+8=5\frac{1}{3} \end{equation*}

Integraalin avulla voidaan esimerkiksi laskea sellaisten alueiden pinta-aloja, joita ei perinteisillä menetelmillä pystytä laskemaan. Esimerkiksi ympyrän pinta-ala tai yleensä kaarevien viivojen rajoittamat pinta-alat ovat tällaisia tapauksia.

Integraalin taustalla on ajatus pinta-alan jakamisesta pienempiin ja pienempiin osiin. Kun ositusta (paloittelua) jatketaan äärettömiin, saadaan integraalin eli tässä tapauksessa pinta-alan arvo osien pinta-alojen summan raja-arvosta.

Saksalainen Bernhard Riemannin hyödynsi tällaista ajatusta integraalin määrittelyssä ja siitä syystä näin määriteltyä integraalia kutsutaan usein Riemannin integraaliksi.

Integraaliin liittyy olennaisesti raja-arvon ja derivaatan käsitteet. Nämä kolme ovat analyysiksi kutsutun matematiikan osa-alueen peruskäsitteitä.

Käytännössä integraalin arvon määrittämisessä selvitetään integraalifunktion arvo, jonka avulla pinta-alaintegraalin arvo saadaan laskettua analyysin ensimmäisen peruslauseen mukaisesti.

Lähteitä ja lisätietoa: