\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.6.2 Kääntäen verrannollisuus

Kuva 1

Kaksi muuttujaa ovat kääntäen verrannolliset, jos niiden tulo pysyy yhtä suurena.

Yllä mainittu merkitsee sitä, että muutos tapahtuu eri suuntiin samassa suhteessa, eli jos toinen muuttuja puolittuu, toinen kaksinkertaistuu.

Esimerkki 1
Tarkastellaan tapausta, jossa eräs heppu ajaa töistä kotiinsa eri keskinopeuksilla. Taulukoidaan nopeudet ja ajat:

Nopeus (km/h)Aika (h)Nopeus ⋅ aika (km)
1000,550
50150
202,550

Huomataan, että nopeuden ja ajan tulo on aina sama 50 (km). Nopeus ja aika ovat tällöin kääntäen verrannolliset.

Kuvan 1 sininen käyrä muodostuu kaikista pisteistä, joissa nopeuden ja ajan tulo on \(50\). Akselit voi ajatella kummin päin vain, mutta olkoon tässä nopeus (km/h) \(x\)-akselilla ja aika (h) \(y\)-akselilla.

Monet kääntäen verrannollisuuteen liittyvät tehtävät ratkeavat helpoiten päättelemällä. Jos tehtävä ratkaistaan yhtälön avulla, kannattaa lähteä siitä liikkeelle, että kääntäen verrannollisten muuttujien tulo on eri tilanteissa yhtäsuuri.

Esimerkki 2
Pitkän ojan kaivamiseen menee kolmelta mieheltä 15 tuntia. Kuinka kauan kaivamiseen menisi viideltä mieheltä (oletetaan, että miehet ovat tasavahvoja, eikä lisäys aiheuta häiriöitä).

Ratkaisu:
Tämän voi päätellä seuraavasti: yhdeltä mieheltä menisi urakkaan 3 ⋅ 15 h = 45 h. Tällöin viisi miestä tekisi homman viidesosa-ajassa eli 45/5 = 9 tunnissa. Vastaus on siis yhdeksän tuntia.