\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

7.9 Todennäköisyysjakauma

Todennäköisyysjakauma on matemaattinen malli, joka kuvaa satunnaismuuttujan mahdollisten arvojen (tai osajoukon) todennäköisyyksiä.

Satunnaismuuttujaa merkitään yleensä isolla kirjaimella \(X, Y, \)... ja sen yksittäistä arvoa vastaavalla pienellä kirjaimella \(x, y\), ... Merkintä \(P(X=x)\) eli \(p(x)\) merkitsee satunnaismuuttujan yksittäisen arvon todennäköisyyttä. Merkintä \(P(X\geq a)\) viittaa todennäköisyyteen "saada arvo, joka on vähintään a".

Todennäköisyysjakaumat jaetaan diskreetteihin ja jatkuviin muuttujan tyypin mukaisesti.

Esimerkki: Klaavojen lukumäärä, kun heitetään kolikkoa kaksi kertaa

Satunnaismuuttuja (jota merkitään usein isolla kirjaimella \(X\)), voi saada vain arvot 0, 1 ja 2, joten se on diskreetti. Todennäköisyyksien arvot saadaan luetteloimalla kaikki mahdolliset kahden heiton tulokset:

Heitto 1Heitto 2
kruunakruuna
kruunaklaava
klaavakruuna
klaavaklaava

Nyt voitaan esittää klaavojen lukumäärien todennäköisyyksiä kuvaava todennäköisyysjakauma:

XP(X)
0\(\frac{1}{4}\)
1\(\frac{1}{2}\)
2\(\frac{1}{4}\)

Yhden klaavan todennäköisyys on muita suurempi, koska se saadaan kahdesta eri yhdistelmästä. Huomaa, että todennäköisyyksien summa \(\frac{1}{4} + \frac{1}{2} +\frac{1}{4} = 1\), mikä onkin todennäköisyysjakaumien yhteinen piirre.

Pari esimerkkiä käyttäen yllä mainittuja merkintöjä:

\(p(1)=\frac{1}{2}\)

\(P(X=1)=\frac{1}{2}\)

\(P(X>0)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

Lähteitä ja lisätietoa:

Glasgow Caledonian University

Wikipedia