\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

7.6.1 Venn-diagrammit

Kuva 1

Venn-diagrammi on tyypillisesti suorakulmiosta ja soikioista muodostuva kuvio, jonka avulla havainnollistetaan todennäköisyyksiä joukko-opin keinoin.

Esimerkki

Luokassa on 26 oppilasta. Heistä 10 on tyttöjä, joista kahdella on koira. Yhteensä kuudella oppilaalla on koira.​ Luokasta valitaan umpimähkään yksi oppilas. Mikä on todennäköisyys, että

  1. oppilas on tyttö?​
  2. oppilas on poika?​
  3. oppilas on tyttö, jolla on koira?​
  4. oppilas on poika, jolla on koira?​
  5. oppilas on poika, jolla ei ole koiraa?​

Ratkaisu: tehdään oppilaista Venn-diagrammi (kuva 1), jossa merkitään joukkoja seuraavasti:

  • Kaikki luokan oppilaat \(=\) suorakulmio
  • Luokan tytöt (yht. 10) \(=A\)
  • Oppilaat, joilla on koira (yht. 6) \(=B\)

Suorakulmioon muodostuu neljä erillistä osaa. Merkitään kuhunkin osaan ainoastaan kyseisessä osassa olevien oppilaiden lukumäärä. Tämän jälkeen todennäköisyyksien laskemiset sujuvat helposti:

  1. \(P(\:\text{"oppilas on tyttö"})=P(A)=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}≈38\:\text{%}\)
  2. \(P(\:\text{"oppilas on poika"})=P(A^C)=\frac{16}{26}=\frac{8}{13}≈62\:\text{%}\)
  3. \(P(\:\text{"oppilas on tyttö, jolla on koira"})=P(A\cap B)=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}≈8\:\text{%}\)
  4. \(P(\:\text{"oppilas on poika, jolla on koira"})=P(A^C\cap B)=\frac{4}{26}=\frac{2}{13}≈15\:\text{%}\)
  5. \(P(\:\text{"oppilas on poika, jolla ei ole koiraa"})=P(A^C\cap B^C)=\frac{12}{26}=\frac{6}{13}≈46\:\text{%}\)

Huomautus: Joukkojen leikkaus \(A\cap B\) tarkoittaa alkioita, jotka kuuluvat kumpaankin joukkoon (joukkojen yhteinen osa). Tästä syystä todennäköisyyttä \(P(A\cap B)\) merkitään toisinaan samaa merkitsevällä tavalla \(P(A \:\text{ja}\: B)\).