\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

7.6.2 Taulukot

Kuva 1

Taulukko on tyypillisesti riveistä ja sarakkeista muodostuva kuvio, jonka avulla havainnollistetaan todennäköisyyksiä. Avain-ajatuksena on valita sekä sarakkeisiin että riveihin sellaiset erilliset joukot, jotka yhdessä kattavat kaikki tapaukset. Jos joukkoja on kaksi, ovat joukot toistensa komplementit.

Viimeiseksi tulee sekä sarakkeisiin että riveihin Yhteensä-kohta, jonka kohdalla tulee kunkin rivin / sarakkeen lukujen summa. Taulukon ruutuihin (soluihin) kirjataan sitten kuhunkin kohtaan sopiva lukumäärä.

Esimerkki

Luokassa on 26 oppilasta. Heistä 10 on tyttöjä, joista kahdella on koira. Yhteensä kuudella oppilaalla on koira.​ Luokasta valitaan umpimähkään yksi oppilas. Mikä on todennäköisyys, että

  1. oppilas on tyttö?​
  2. oppilas on poika?​
  3. oppilas on tyttö, jolla on koira?​
  4. oppilas on poika, jolla on koira?​
  5. oppilas on poika, jolla ei ole koiraa?​

Ratkaisu: tehdään oppilaista taulukko (kuva 1). Valitaan riveiksi koiralliset ja koirattomat (toistensa komplementit) ja sarakkeiksi pojat ja tytöt (myös komplementtijoukot). Ruutuihin tulevat lukumäärät voidaan päätellä tehtävänannosta.

Tämän jälkeen todennäköisyyksien laskemiset sujuvat helposti:

  1. \(P(\:\text{"oppilas on tyttö"})=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}≈38\:\text{%}\)
  2. \(P(\:\text{"oppilas on poika"})=\frac{16}{26}=\frac{8}{13}≈62\:\text{%}\)
  3. \(P(\:\text{"oppilas on tyttö, jolla on koira"})=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}≈8\:\text{%}\)
  4. \(P(\:\text{"oppilas on poika, jolla on koira"})=\frac{4}{26}=\frac{2}{13}≈15\:\text{%}\)
  5. \(P(\:\text{"oppilas on poika, jolla ei ole koiraa"})=\frac{12}{26}=\frac{6}{13}≈46\:\text{%}\)

Huomautus: Tulokset ovat samat kuin Venn-diagrammin avulla. Todennäköisyystehtävissä voi usein käyttää eri apukeinoja, kunhan ajatus pysyy kasassa.