\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

7.6.3 Puukaaviot

Kuva 1: kolmen heiton sarja
Kuva 2: sukkaparin valinta

Puukaavio auttaa usein hahmottamaan erilaisten tapahtumaketjujen mahdollisia tuloksia.

Useimmiten puukaavio liittyy peräkkäisiin tapahtumiin, jolloin todennäköisyyden laskennassa sovelletaan tuloperiaatetta.

Esimerkki 1

Kolikossa on kaksi puolta, "kruuna" ja "klaava". Millä todennäköisyydellä saadaan kolmella heitolla kaksi kruunaa ja yksi klaava, kun järjestyksellä ei ole väliä?

Puukaaviosta (kuva 1) nähdään kaikki erilaiset kolmen heiton sarjat. Sarjoja on kahdeksan erilaista, joista kolme (kruuna-kruuna-klaava, kruuna-klaava-kruuna ja klaava-kruuna-kruuna) ovat kysymyksen kannalta suotuisia. Kysytty todennäköisyys saadaan näiden jakolaskulla:

\begin{equation*}P(\:\text{"kaksi kruunaa ja klaava"})=\frac{3}{8}≈38\:\text{%}\end{equation*}

Huomautus: Jos sarjan järjestys pitää olla täsmälleen kruuna-kruuna-klaava, on suotuisia sarjoja vain yksi, jolloin todennäköisyys on \(\frac{1}{8}≈13\:\text{%}\).

Huomautus 2: Sarjan kruuna-kruuna-klaava todennäköisyys saadaan myös tuloperiaatteen nojalla, kun tiedetään, että kruunan samoin kuin klaavankin todennäköisyys on \(50 \:\text{%}\):

\(P(\:\text{"kruuna-kruuna-klaava"})=\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2 \cdot 2 \cdot 2}=\frac{1}{8}\).

Huomaa, että jos oksien todennäköisyydet vaihtelevat, ei todennäköisyyttä voi laskea suoraan oksien lukumäärän avulla, vaan pitää hyödyntää tuloperiaatetta. Tällöin riittää piirtää puuhun vain ne oksat, joita vastaavia tapahtumia tarkastellaan. Muilla oksilla ei ole laskennan kannalta merkitystä.

Esimerkki 2:

Timolla on laatikossa kolme pinkkiä, kuusi valkoista ja neljä sinistä sukkaa. Hän valitsee niistä aamulla kaksi sukkaa ennen kuin jaksaa avata silmiään. Millä todennäköisyydellä sukat ovat samaa väriä?

Ratkaisu: sukilla on kolme värivaihtoehtoa: kaksi pinkkiä, kaksi valkoista tai kaksi sinistä. Kuvassa 2 on puukaaviolla kuvattu saman värin tuottavat tapahtumat. Varsinainen todennäköisyys saadaan tulo- ja yhteenlaskusääntöjen avulla:

\(P(\text{"2 pink. TAI 2 valk. TAI 2 sin."})=\) \(P(\text{"2 pink."}) + P(\text{"2 valk."}) + P(\text{"2 sin."})=\) \(\frac{3}{13} \cdot \frac{2}{12} + \frac{6}{13} \cdot \frac{5}{12} +\frac{4}{13} \cdot \frac{3}{12}=\) \(\frac{6+30+12}{156}=\frac{48}{156}=\frac{4}{13}≈31\:\text{%}\)