\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.5.11 Tangenttifunktio

Kuva 1
Kuva 2: tangenttifunktion kuvaaja

Suorakulmaisen kolmion ja yksikköympyrän avulla tangentille saadaan seuraava määritelmä:

\begin{equation*} \tanα=\frac{\:\text{vastainen kateetti}}{\:\text{viereinen kateetti}}=\frac{\sinα}{\cosα} \end{equation*}

Yksikköympyrän avulla sini ja kosini laajennetaan koskemaan kaikkia mahdollisia kulmia. Sama laajennus koskee tangenttia, kun otetaan huomioon seuraava rajoitus:

Tangentti ei ole määritelty, kun nimittäjä eli \(\cosα\) on nolla, eli kun \(α=\frac{π}{2}+nπ\), missä \(n\) on kokonaisluku. Näissä kohdissa tangentilla on pystysuora asymptootti.

Sinifunktion \(h(x)=\tan x\) ominaisuuksia lyhyesti:

  • Määrittelyjoukko: \(\mathbb{R}\setminus \left \{\frac{π}{2}+nπ\right \}\:\text{, }n\in\mathbb{Z}\)
  • Arvojoukko: \(\mathbb{R}\)
  • Jatkuva ja derivoituva kaikkialla määrittelyjoukossaan
  • Jaksollinen, jakson pituus \(\pi\)
  • Nollakohdat: \(x=n\pi\:\text{, } n\in\mathbb{Z}\) (samat kuin sinifunktiolla)
  • \(h'(x)=\frac{1}{\cos^2 x}\)