\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

7.10.1 Bayesin kaava

Bayesin kaava auttaa joissakin tapauksissa ehdollisten tapahtumien todennäköisyyksien laskemisessa. Kaava näyttää seuraavalta. \(A\) ja \(B\) ovat tapahtumia, jotka voivat olla toisistaan riippuvaisia.

\begin{equation*} P\left (A | B\right )=\frac{P(A) \cdot P(B | A)}{P(B)} \end{equation*}

Kaavan perustelu

Oletetaan, että \(A\) ja \(B\) riippuvat toisistaan. Olkoon esimerkkinä tuo kuuluisa laatikko, jossa on kaksi valkeaa ja kolme mustaa kuulaa. Poimitaan peräkkäin kaksi kuulaa niin, että ensimmäistä ei palauteta laatikkoon. Merkitään tapahtumaa "valkea kuula" kirjaimella \(A\) ja tapahtumaa "musta kuula" kirjaimella \(B\). Tällöin tapahtumille "ensin \(A\), sitten \(B\)" ja toisaalta "ensin \(B\), sitten \(A\)" saadaan seuraavat todennäköisyydet:

\begin{equation*} P(A \cap B)=P(A)P(B | A) =\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{4}=\frac{6}{20}=\frac{3}{10} \end{equation*} ja \begin{equation*} P(B \cap A)=P(B)P(A | B ) =\frac{3}{5} \cdot \frac{2}{4}=\frac{6}{20}==\frac{3}{10} \end{equation*}

Todennäköisyydet \(P(A \cap B)\) ja \(P(B \cap A)\) ovat yhtäsuuret, kuten loogisesti pitääkin olla, koska joukot \(A \cap B\) ja \(A \cap B\) ovat samat. Tästä saadaan yhtälö, joka antaa alussa esitetyn lausekkeen:

\begin{align*} P(B \cap A)&= P(A \cap B) \\ P(B)P(A | B )&=P(A)P(B | A) \quad \Vert : P(B) \\ P(A | B )&=\frac{P(A)P(B | A) }{P(B)} \end{align*}

Tapauksissa, joissa \(P(B | A)\) on tiedossa, tai helpompi laskea kuin \(P(A | B )\), Bayesin kaava raivaa tien eteenpäin.

Voit käydä testaamassa Bayesin kaavan toimintaa lähes konkreettisella simulaatiolla täällä.