\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

4.2.3 Pallon yhtälö

Pallon yhtälö muistuttaa paljon ympyrän yhtälöä kahdessa ulottuvuudessa. Pallon pinnan muodostavat kaikki pisteet, jotka ovat säteen päässä pallon keskipisteestä.

Jos pallon sädettä merkitään kirjaimella \(r\) ja \((x_0, y_0, z_0)\) on pallon keskipiste, saadaan pallon pinnalle seuraava yhtälö Pythagoraan lauseen avulla:

\begin{equation*}\sqrt{(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2} = r\end{equation*}

Korottamalla yhtälön puolet toiseen potenssiin saadaan ehkä tunnetuin muoto:

\begin{equation*}(x-x_0)^2+(y-y_0)^2+(z-z_0)^2 = r^2\end{equation*}

Esimerkki

Jos pallon keskipiste on pisteessä \((2, -1, 3)\) ja säteen pituus on \(4\), saadaan pallon pinnalle seuraava yhtälö:

\begin{equation*}(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2 = 4^2 \\ \end{equation*}

Yhtälöstä sievennetään usein sulut pois ja se muokataan nollamuotoon:

\begin{align*} (x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2& = 4^2 \\ x^2-4x+4+y^2+2y+1+z^2-6z+9& = 16 \quad \Vert-16\\ x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z-2& = 0 \\ \end{align*}

Kyseisen pallon yhtälö on siis sievennetyssä muodossa

\begin{equation*}x^2+y^2+z^2-4x+2y-6z-2 = 0. \end{equation*}