\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.5.2 Muistikolmiot

Kuva 1
Kuva 2

Muistikolmioiksi sanotaan kolmioita, joiden terävissä kulmissa esiintyy kulmat \(30°\) , \(45°\) tai \(60°\). Nämä kolmiot auttavat muistamaan usein vastaan tulevia trigonometristen funktioiden arvoja.

1) Neliön puolikas eli tasakylkinen suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat yhtä pitkät ja tällöin terävät kulmat kumpikin \(45\) astetta.

2) Tasasivuisen kolmion puolikas eli suorakulmainen kolmio, jossa toisen kateetin pituus on puolet hypotenuusan pituudesta. Kun valitaan yhden kateetin ja hypotenuusan pituuksiksi \(1\) ja \(2\), saadaan Pythagoraan lauseen avulla toisen kateetin pituudeksi \(\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\).

Yhdenmuotoisuuslauseen perusteella kolmioiden vastinsivujen pituuksien suhde pysyy samana, vaikka koko muuttuisi (kun vain kulmat pysyvät samoina). Tästä syystä muistikolmioihin voidaan valita mahdollisimman helpostilaskettavat pituudet. Kolmioiden suurentaminen tai pienentäminen ei vaikuta sivujen suhteisiin eli ei myöskään trigonometristen funktioiden arvoihin (esimerkiksi yksikköympyrässä kolmion hypotenuusan pituus on aina yksi).

Kuvien 1 ja 2 kolmioiden perusteella saadaan seuraavat tulokset:

\begin{equation*} \sin30°=\frac{1}{2} \\ \cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \tan30°=\frac{1}{\sqrt{3}} \end{equation*}

ja

\begin{equation*} \sin45°=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \cos45°=\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \tan45°=\frac{1}{1}=1 \end{equation*}

ja

\begin{equation*} \sin60°=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos60°=\frac{1}{2} \\ \tan60°=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3} \end{equation*}

Kaikki yllä mainitut arvot saat helposti, kun vain opettelet ulkoa kaksi kolmiota! Huomaa, että arvojen avulla voidaan päätellä kumpaankin suuntaan, eli funktion arvo kun tunnetaan kulma, tai kulman arvo, kun tunnetaan funktion arvo.