\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.5.3 Yksikköympyrä

Kuva 1

Kuvassa 1 on niin kutsuttu yksikköympyrä, jonka nimi tulee siitä, että ympyrän säteen pituus on tasan 1. Yksikköympyrän keskipiste on origossa.

Yksikköympyrä auttaa määrittelemään trigonometriset funktiot myös silloin, kun kulma \(α\) on yli 90 astetta tai alle nolla astetta (nämä tilanteet ovat mahdottomia suorakulmaisessa kolmiossa).

Tarkastellaan kuvan 1 kolmiota, joka on piirretty koordinaatiston ensimmäiseen neljännekseen (kolmio ei-katkoviivoilla). Merkitään suorakulmaisen kolmion pystysuoraa kateettia kirjaimella \(b\). Tällöin pätee seuraava yhtäsuuruus:

\begin{equation*}\sinα=\frac{\:\text{kulman}\: \alpha \:\text{vastainen kateetti}}{\:\text{hypotenuusa}} =\frac{b}{1}=b\end{equation*}

Tämä tarkoittaa sitä, että kulman \(α\) sinin arvo on sama kuin yksikköympyrään piirretyn suorakulmaisen kolmion pystysuoran kateetin pituus, kun \(0° < \alpha < 90° \) eli radiaaneina \(0 < \alpha < \frac{ \pi}{2} \).

Samalla tavalla samalla kolmion vaakasuoran kateetin pituus saadaan kosinin avulla, kun kateettia merkitään kirjaimella \(a\):

\begin{equation*}\cosα=\frac{\:\text{kulman}\: \alpha \:\text{viereinen kateetti}}{\:\text{hypotenuusa}} =\frac{a}{1}=a\end{equation*}

Huomaa, että hypotenuusan päässä olevan kehäpisteen \((a,b)\) koordinaatit antavat suoraan kummankin kateetin pituuden!

Määritellään nyt sini ja kosini seuraavasti:

\(\cosα=\) ympyrän kehän pisteen \(x\)-koordinaatti
\(\sinα=\) ympyrän kehän pisteen \(y\)-koordinaatti.

Yllä oleva määritelmä toimii kaikilla mahdollisilla kulman \(α\) arvoilla!

Kulman tangentti voidaan nyt määritellä sinin ja kosinin avulla seuraavasti:

\begin{equation*} \tan\alpha =\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha } = \frac{b}{a} \end{equation*}

Tangentin määritelmästä nähdään, että \(\cos\alpha \) ei saa olla nolla, jottei tule nollalla jakamista. Tästä syystä tangentti ei ole määritelty kun \(\alpha\) on jokin kulmista \(90°+n \cdot 180°\), jossa \(n\in\mathbb{N}\).