\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.4.5 Sinin ja kosinin ominaisuuksia \(\left (0 \leq \alpha \leq 2\pi \right )\)

Kuva 1

Pistettä \((a,b)\) liikuttamalla saadaan selville kaikki mahdolliset sinin ja kosinin arvot. Kuvan perusteella voidaan päätellä, että arvot ovat aina lukujen \(-1\) ja \(1\) välissä. Toisin sanoen kummankin funktion arvojoukko on \( [-1,1]\).

Sekä sinin että kosinin määrittelyjoukko on koko reaalilukujen joukko. Kulma saa siis olla mikä tahansa luku, vaikka täällä tarkastellaankin vain yhteen täyskulmaan rajoittuvia kulmia \(\left (0 \leq \alpha \leq 2\pi \right )\).

Kuvasta 1 nähdään, että \(\cosα\) eli kehän pisteen \(x\)-koordinaatti (tässä \(a\)) saa saman arvon yleensä kahdella eri kulmalla:

\(\cosα=\cos⁡(2\pi-α)\)

Samoin \(\sinα\) eli kehän pisteen \(y\)-koordinaatti (kuvassa 1 kirjain \(b\)) saa yleensä saman arvon kahdella eri kulman arvolla:

\(\sinα=\sin⁡(π-α)\)

Poikkeuksen muodostavat ääriarvot \(1\) ja \(-1\), jotka kumpikin funktio saa vain kerran täyskulman alueella \(\left ( \cos 0 = 1\:\text{, } \cos\pi = -1\:\text{, } \sin\frac{\pi }{2} = 1\:\text{ja }\sin\frac{3\pi }{2} = -1 \right )\).

Muutamia muita tavallisia sinin ja kosinin arvoja

  • \(\sin⁡0=\sin\pi =0\)
  • \(\cos\left (\frac{⁡π}{2}\right )=\cos\left (\frac{⁡3π}{2}\right )=0\)
  • \(\sin\left (\frac{\pi}{6} \right )=\sin\left (\frac{5}{6}\pi \right )=\frac{1 }{2}\)
  • \(\cos\left (\frac{2}{3}\pi \right )=\cos\left (\frac{4}{3}\pi \right )=-\frac{1 }{2}\)

Kaksi viimeistä riviä saadaan muistikolmioiden ja yksikköympyrän yhteistyöllä.