\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.5.7 Trigonometriset yhtälöt 1

Kuva 1
Kuva 2
Kuva 3

Tarkastellaan täällä yhtälöitä, jotka saadaan peruslaskutoimituksilla muokaten muotoon \(\sin x=a\), \(\cos x=a\) tai \(\tan x=a\), jossa \(a\) on jokin luku. Tuntematon on siis kulma, jota tässä merkitään kirjaimella \(x\). Ratkaisut annetaan usein radiaaneina, vaikka asteitakin voidaan käyttää.

Perusaskeleet yhtälön ratkaisuun:

  1. Muokkaa yhtälö muotoon, jossa trigonometrinen funktio on yksinään toisella puolella.
  2. Selvitä yksi juuri muistikolmioiden tai laskimen avulla.
  3. Päättele muut juuret yksikköympyrän avulla.

Esimerkki

Ratkaistaan yhtälö \(\sqrt{2} \sin x -1 = 0\). Ensin askel 1:

\begin{align*} \sqrt{2} \sin x -1 &=0 \quad \Vert +1 \\ \sqrt{2} \sin x &=1 \quad \Vert : \sqrt{2} \\ \sin x &=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{align*}

Funktion arvo on tuttu ja kulman yksi arvo saadaan muistikolmiosta (kuva 1):

\begin{equation*}x=45° = \frac{\pi}{4} \:\text{(rad)} \end{equation*}

Yksikköympyrästä (kuva 3) nähdään, että sinifunktio (kehäpisteen \(y\)-arvo) saa saman arvon pisteissä, jotka ovat yhtä kaukana \(y\)-akselistä. Näitä pisteitä vastaavat kulmat \(\alpha \) ja \(\pi -\alpha \). Yhtälön yhdeksi ratkaisuksi saatiin kulma \( \frac{\pi}{4}\) (vastaa kuvassa 3 kulmaa \(\alpha\) ), joten toinen kulma on \(\pi-\frac{\pi}{4}=\frac{3}{4}\pi \).

Ratkaisu: Välillä \([0, 2\pi ]\) on yhtälölle kaksi ratkaisua: \(x = \frac{\pi}{4}\) tai \(x = \frac{3}{4}\pi\).

Jos kulma saa pyörähtää useamman kierroksen, kelpaavat samassa kohdassa olevat kulman arvot jokaisella kierroksella. Tällöin kaikki mahdolliset ratkaisut ilmoitetaan seuraavasti:

\(x = \frac{\pi}{4} + n \cdot 2\pi \:\text{tai } x = \frac{3}{4}\pi +n \cdot 2\pi \), missä \(n \in\mathbb{Z}\).