\(\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}} \DeclareMathOperator*{\sijoitus}{\Big/} \newcommand{\eval}[2]{\sijoitus_{\kern-0.7em#1}^{\kern0.7em#2}\!} \)

3.5.7 Sinin ja kosinin ominaisuuksia (kaikki kulmat)

Kuva 1
Kuva 2

Pistettä \((a,b)\) liikuttamalla saadaan selville kaikki mahdolliset sinin ja kosinin arvot. Kuvan perusteella voidaan päätellä, että arvot ovat aina lukujen \(-1\) ja \(1\) välissä. Toisin sanoen kummankin funktion arvojoukko on \( [-1,1]\).

Kuvasta 1 nähdään, että \(\cosα\) eli kehän pisteen \(x\)-koordinaatti (kuvassa 1 kirjain \(a\)) saa saman arvon kahdella eri kulman arvolla:

\(\cosα=\cos⁡(2\pi-α)\)

Koska kulmilla \(2\pi-α\) ja \(-\alpha \) (myötäpäivään) päädytään samaan kehäpisteeseen \((a, -b)\), voidaan merkitä \(\cosα=\cos⁡(-α)\). Kosini on siis parillinen funktio.

Samoin \(\sinα\) eli kehän pisteen \(y\)-koordinaatti (kuvassa 1 kirjain \(b\)) saa saman arvon kahdella eri kulman arvolla:

\(\sinα=\sin⁡(π-α)\)

Lisäksi yksikköympyrästä nähdään, että \(\sinα=-\sin(-α) \), eli sinifunktio on pariton.

Kaikki sinin ja kosinin arvot toistuvat samoina täyskulman välein (kokonaiset kierrokset), joten kummankin funktion jakso on \(2\pi\).

Muutamia tavallisia sinin ja kosinin arvoja

  • \(\sin⁡(0)=0\)
  • \(\sin⁡(π/2)=1\)
  • \(\sin⁡(π)=0\)
  • \(\sin⁡(3π/2)=-1\)
  • \(\sin⁡(2π)=0\)
  • \(\cos⁡(0)=1 \)
  • \(\cos⁡(π/2)=0\)
  • \(\cos⁡(π)=-1 \)
  • \(\cos⁡(3π/2)=0\)
  • \(\cos⁡(2π)=1 \)

Huomaa, että funktiot ovat muuten täysin samanlaiset, mutta niillä on puolen piin mittainen vaihe-ero. Siirtämällä toista kuvaajaa puoli piitä vaakasuunnassa saadaan toinen kuvaaja.